matematikk.net

La $a+\frac12 b+\frac13 c+\frac14 d+\frac15 e=0$. Vis at polynomet $a+bx+cx^2+dx^3+ex^4$ (definert på $\mathbb{R}$) har minst ett nullpunkt.

plutarco wrote:La $a+\frac12 b+\frac13 c+\frac14 d+\frac15 e=0$. Vis at polynomet $a+bx+cx^2+dx^3+ex^4$ (definert på $\mathbb{R}$) har minst ett nullpunkt.

Hvis polynomet er identisk lik $0$ er oppgaven triviell, så anta at dette ikke er tilfellet.

$$\int_0^1\left(a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4\right) dx = \left[ax + \frac12 bx^2 + \frac13 cx^3 + \frac14 dx^4 + \frac15 ex^5\right]_0^1 = a + \frac12 b + \frac13 c + \frac14 d + \frac15 e = 0,$$

hvilket kan kun skje dersom polynomet ikke har fast fortegn i intervallet $(0,1)$, så det har minst ett nullpunkt.

Jau. Eventuelt kan man la $f(x)=ax+\frac12 bx^2+\frac13 cx^3+\frac14 dx^4+\frac15 ex^5$. Da er $f(0)=f(1)=0$ så Rolles teorem sier at da må det eksistere en $u\in (0,1)$ slik at $f'(u)=0$