matematikk.net

Jeg sliter med å forstå hva en algebra er, og hva motivasjonen for definisjonen er (f. eks har jeg forstått at motivasjonen bak moduler er å generalisere definisjonen av et vektorrom).
Er homomorfien i en algebra "ganging av vektorer"?

En av definisjonene jeg har sett er at en [tex]A[/tex]-algebra er en ring [tex]B[/tex] med en homomorfi [tex]\phi:A\rightarrow B[/tex]. Jeg har sett at ringen [tex]k[x,y][/tex] kalles en [tex]k[/tex]-algebra, betyr dette bare at vi har den vanlige ringen [tex]k[x,y][/tex], med en homomorfi [tex]\phi: k \rightarrow k[x,y][/tex]?
En annen definisjon jeg har sett er at [tex]B[/tex] skal være en [tex]A[/tex]-modul, sammen med en funksjon [tex]\psi:B\times B \rightarrow B[/tex] hvor [tex]\psi[/tex] er [tex]A[/tex]-bilineær.
Hvordan vil en slik homomorfi typisk se ut? Er det ofte en inklusjon? (Som i [tex]\phi: k \rightarrow k[x,y][/tex])

Jeg tenker på en (unital assosiativ) algebra som en R-modul med et produkt, altså en regel for å gange sammen vektorer. ($\psi$ tilsvarer produktet ditt)

F.eks. er matriseringen $M_2(\mathbb{R})$ en algebra siden $M_2(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^4$ som vektorrom (i.e. $\mathbb{R}$-moduler) I tillegg har vi en produktstruktur via matriseproduktet.

Tilsvarende er $k[x,y] \cong k^{\infty}$ som $k$-moduler (Ta basisen $\{1, x, y ,x^2 , xy, y^2, \dots \}$), og produktet ditt er bare vanlig produkt av polynomer.