matematikk.net

Let $A = k[x]/(x^4)$. Does A have descending chain condition (see Exercise 5). Give a generating set of the ideal $(x,y)^2 ⊆ k[x,y]$. Let $A = k[x, y]/(x, y)^2$. Does A have descending chain condition?
"5. Give reason that Z is a notherian ring. So Z has ascending chain condition (a.c.c). Does Z has descending chain condition (d.c.c.), meaning that a descending chain of ideals [tex]I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq I_{3} \supseteq ...[/tex] Stabilizes"
nummer 5 er bare slengt med for å vise hva som stod der..

Har prøvd litt forskjellige måter på den første delen, men går meg litt fast. Får ikke helt "ideen" min ned på arket.
Så hvis noen har noen hint til denne hadde jeg satt stor pris på det
(helst ikke gi hele svaret med en gang)

A. C. C handler om å dele, og betyr at du ikke kan dele et tall uendelig mange ganger (unntatt med [tex]1[/tex]). F. eks [tex]60=2^2\cdot 3\cdot 5[/tex], vi kan dele etter tur og få noe sånt: [tex]60\overset{\div 5}{\rightarrow}12\overset{\div 3}{\rightarrow}4\overset{\div 2}{\rightarrow}2\overset{\div 2}{\rightarrow}1[/tex], og her må det stoppe. Dette er akkurat det samme som å skrive: [tex](60)\subset (12)\subset (4)\subset (2)\subset (1)=A[/tex] med idealer. (Men du kan sette opp den kjeden på mange måter, f. eks, [tex](60)\subset (15)\subset\dots[/tex])

[tex]\mathbb{Z}[/tex] tilfredsstiller A. C. C, siden hvis du startet med et ideal [tex](n)[/tex] så kan det skrives som [tex](p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_k^{e_k})[/tex], og hvis du da lager en kjede så må den se noe sånt ut [tex](n)\subset \dots \subset (p_i)\subset(1)[/tex], og den stopper.

D. C. C er motsatt, og handler om ganging, og spørsmålet blir da om du kan gange uendelig mange ganger? For å ta et eksempel, hvis vi har [tex]A=\mathbb{Z}[/tex] har vi ingen begrensning på hvor store tall vi kan lage, vi kunne f. eks ha [tex]\dots \subset (40)\subset (20)\subset (10)\subset (5)[/tex] og denne vil aldri slutte. Men tar vi [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] har vi: [tex](0)=(12)\subset (6)\subset (3)\subset (1)=A[/tex], og denne stopper. Så [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] tilfredsstiller D. C. C (må såklart vise at dette gjelder for alle idealer). Hjalp det med idéen?

[tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?

Kake med tau wrote: [tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?

ble litt usikker nå, men kan det være noe slikt?
[tex](1) \supseteq (\bar{x}) \supseteq (\bar{x}^2) \supseteq (\bar{x}^3) \supseteq (\bar{x}^4) = (0)[/tex]

CharlieEppes wrote:

Kake med tau wrote: [tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?

ble litt usikker nå, men kan det være noe slikt?
[tex](1) \supseteq (\bar{x}) \supseteq (\bar{x}^2) \supseteq (\bar{x}^3) \supseteq (\bar{x}^4) = (0)[/tex]

Korrekt, men du må vise (eller motbevise) at det gjelder for alle nedstigende kjeder av idealer.

Hva med denne: $(x+1)$, $(x+1)^2$,... Altså $I_n=((x+1)^n)$ ? Fins det en m slik at $I_n=I_m$ for alle n>m?

Eller hva hvis $k=\mathbb{Z}$, og $I_n=((x+2)^n)$ ?

Hint på den siste:

Vis at $(x+2)^n \, mod(x^4)\not\in ((x+2)^m)$ dersom $m>n$. Dermed vil $I_n$ aldri bli konstant.

Som en alternativ vei:

Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.

Kake med tau wrote:Som en alternativ vei:

Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.

Ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] må man vel betrakte som en modul over seg selv, og ikke en k-modul ?

Undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som k-modul, vil vel ikke sammenfalle med undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en modul over seg selv (som er det samme som idealene i ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex]) ?

plutarco wrote:
Ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] må man vel betrakte som en modul over seg selv, og ikke en k-modul ?

Undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som k-modul, vil vel ikke sammenfalle med undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en modul over seg selv (som er det samme som idealene i ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex]) ?

Nå kan det hende at jeg er på bærtur, men er ikke [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}\cong k\oplus kx\oplus kx^2\oplus kx^3\cong k^4[/tex], og det er vel en [tex]k[/tex]-modul?

Det kan godt hende du har rett, men jeg antok egentlig hele tiden at $A=k[x]/(x^4)$ var betraktet som en ring, og ikke en k-modul, siden alle de tidligere spørsmålene har brukt A som en ring. Men det er klart at du har rett hvis A her er betraktet som k-modulen A.

Kake med tau wrote:Som en alternativ vei:

Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.

Krull dimensjon, er det kap. 5 i Kemper fra pensum?

plutarco wrote:Det kan godt hende du har rett, men jeg antok egentlig hele tiden at $A=k[x]/(x^4)$ var betraktet som en ring, og ikke en k-modul, siden alle de tidligere spørsmålene har brukt A som en ring. Men det er klart at du har rett hvis A her er betraktet som k-modulen A.

Nei, jeg er usikker jeg også, det står ikke spesifisert noe slikt i oppgaven Men kan du ikke alltid se på ringer som moduler uten å "miste" informasjon?

CharlieEppes wrote:Krull dimensjon, er det kap. 5 i Kemper fra pensum?

Jepp, stemmer det! Tenkte at det kanskje var en fin kobling mellom [tex]\dim_k(A)[/tex] (som et vektorrom), og [tex]\dim(A)[/tex] (som dimensjon over ringen). For Krull-dimensjonen er definert som hvor lang den lengste kjeden med primidealer er.

Det er et teorem som sier: [tex]A[/tex] en noethersk ring og [tex]\dim(A)=0\iff A[/tex] artinsk (har D. C. C.)
Tenkte at siden vi vet at [tex]A[/tex] er noethersk så kanskje det går an å vise at [tex]\dim(A)=0[/tex]

Hva er det dere studerer siden dere holder på med det her, om jeg tør spørre?

hco96 wrote:Hva er det dere studerer siden dere holder på med det her, om jeg tør spørre?

Lærerutdanning Faget her kalles kommutativ algebra.

Matematikk(Ren) her, samme emne
Men kjenner jeg har tatt meg litt vann over hodet, når det kommer til disse fagene

CharlieEppes wrote:Matematikk(Ren) her, samme emne

Spennende! Hvor da?