matematikk.net

Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2+bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.

Hint: $ax^2+bx+c=0$ har to reelle røtter, $b^2-4ac>0\Leftrightarrow b>2\sqrt{ac} $

Kjemikern wrote:Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2+bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.
Hint: $ax^2+bx+c=0$ har to reelle røtter, $b^2-4ac>0\Leftrightarrow b>2\sqrt{ac} $

Jeg ville fort og gæli tippa:

[tex]b^2-4ac > 0\,\,(*)[/tex]
og
$f = ax^2+bx+c$
[tex]f ' = 2ax + b = 0[/tex]
for
[tex]x=-b/2a[/tex]
DVs
[tex]0 < -b/2a < 1\,\,(**)[/tex]

deretter kombinert (*) og (**)...

Kjemikern wrote:Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2+bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.

Hint: $ax^2+bx+c=0$ har to reelle røtter, $b^2-4ac>0\Leftrightarrow b>2\sqrt{ac} $

Røttene er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

For at røttene skal ligge i intervallet (0,1) må $0<\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1$ så $0<-b\pm\sqrt{b^2-4ac}<2a$, så vi får to ulikheter som begge må være oppfylt:

1) $0<-b-\sqrt{b^2-4ac}$
2) $-b+\sqrt{b^2-4ac}<2a$

Ulikhet 1) er aldri oppfylt for positive heltall a,b,c, så det fins ingen løsning på oppgaven.

plutarco wrote:

Kjemikern wrote:Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2+bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.

Hint: $ax^2+bx+c=0$ har to reelle røtter, $b^2-4ac>0\Leftrightarrow b>2\sqrt{ac} $

Røttene er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

For at røttene skal ligge i intervallet (0,1) må $0<\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1$ så $0<-b\pm\sqrt{b^2-4ac}<2a$, så vi får to ulikheter som begge må være oppfylt:

1) $0<-b-\sqrt{b^2-4ac}$
2) $-b+\sqrt{b^2-4ac}<2a$

Ulikhet 1) er aldri oppfylt for positive heltall a,b,c, så det fins ingen løsning på oppgaven.

Korrekt =). Oppfølger:
Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2-bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.

Kjemikern wrote: Bestem positive hele tall $a,b,c$ slik at ligningen $ax^2-bx+c=0$, har to forskjellige reelle røtter i intervallet $0<x<1$ og at $(a+b+c)$ skal være minst mulig.

Røttene er $x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

For at røttene skal ligge i intervallet (0,1) må $0<\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1$ så $0<b\pm\sqrt{b^2-4ac}<2a$, så vi får to ulikheter som begge må være oppfylt:

1) $\sqrt{b^2-4ac}<2a-b \Rightarrow 2b<a+b+c$
2) $b^2>4ac$

Fra 2) må vi ha $b\geq 3$.

Hvis $b=3$ må $6<a+b+c\leq 6$, som er en motsigelse.

Hvis $b=4$ er $8<a+b+c\leq 8$, igjen en motsigelse.

Hvis $b=5$ så må $5<a+c$ og $25>4ac$. Den minste verdien til $a+b+c$ er dermed $1+5+5=11$.

Til slutt ser vi at dersom $b>5$, så er $a+b+c>12$, så minste verdi av $a+b+c$ er $11$.

plutarco wrote: For at røttene skal ligge i intervallet (0,1) må $0<\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1$ så $0<b\pm\sqrt{b^2-4ac}<2a$, så vi får to ulikheter som begge må være oppfylt:

1) $\sqrt{b^2-4ac}<2a-b \Rightarrow 2b<a+b+c$
2) $b^2>4ac$

Fra 2) må vi ha $b\geq 3$.

Hvis $b=3$ må $6<a+b+c\leq 6$, som er en motsigelse.

Hvis $b=4$ er $8<a+b+c\leq 8$, igjen en motsigelse.

Hvis $b=5$ så må $5<a+c$ og $25>4ac$. Den minste verdien til $a+b+c$ er dermed $1+5+5=11$.

Til slutt ser vi at dersom $b>5$, så er $a+b+c>12$, så minste verdi av $a+b+c$ er $11$.

Fin løsning!