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Finn $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1+2^2+3^3...(n-1)^{n-1}+n^n}{n^n}$

Kjemikern wrote:Finn $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1+2^2+3^3...(n-1)^{n-1}+n^n}{n^n}$

Viser først at $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^2+3^3+...+(n-1)^{n-1}}{n^n}=0$:

$\frac{1+2^2+3^3+...+(n-1)^{n-1}}{n^n}<\frac{\int_{0}^{n} k^k\,dk}{n^n}$

Siden $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{0}^{n} k^k\,dk}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(\int_{0}^{n} k^k\,dk)'}{(n^n)'}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{n^n(\log n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n +1}=0$, følger påstanden. Dermed er

$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1+2^2+3^3...(n-1)^{n-1}+n^n}{n^n}=1$