matematikk.net

Hei har denne oppgaven. Jeg er litt stuck på den. Spesielt på oppgave c, men jeg er ikke helt sikker på om jeg har gjort riktig på a og b.

La $\sim$ være en binær relasjon på $\mathbb{Z}$ definert som $x \sim y$ iff $x \equiv y \pmod{5}$.
a) Vis at $\sim$ er en ekvivalensrelasjon.
b) Finn $[12]_{\sim}$ og $[-33]_{\sim}$
c) Finn en bijeksjon fra $\left\{[x]_{\sim} \ \rvert \ x \in \mathbb{Z}\right\}$ til $\left\{a, b, c, d, e \right\}$.

Jeg har kommet så langt:

a) Benytter meg av at $x \equiv y \pmod{5}$ hvis og bare hvis $x \bmod{5} = y \bmod{5}$
Refleksiv fordi $x \bmod{5} = x \bmod{5}$
Symmetrisk fordi hvis $x \bmod{5} = y \bmod{5} \rightarrow y \bmod{5} = x \bmod{5}$
Transitiv fordi $\left(x \bmod{5} = y \bmod{5} \land y \bmod{5} = z \bmod{5} \right) \rightarrow x \bmod{5} = z \bmod{5}$

b)
$[12]_{\sim} = \left\{2 + 5k \ \rvert \ k \in \mathbb{Z} \right\}$
$[-33]_{\sim} = \left\{2 + 5k \ \rvert \ k \in \mathbb{Z} \right\}$

c)
Skjønner egentlig lite av denne oppgaven.
Er det noen som kan gi meg noen hint? $[x]_{\sim}$ er der $5 \ \rvert \ x - y$,
og bijeksjon er noe jeg forbinder med at en funksjon er injektiv og surjektiv altså en til en og "onto".

Skal det være at $5 \ \rvert \ x - y$ så lager man en funksjon $f : A \rightarrow B$ der
$ A = \left\{0, 1, 2, 3, 4 \right\}$ og $B = \left\{a, b, c, d, e \right\}$

så kan $f(0) = a, f(1) = b$ osv? eller noe sånn? Skjøner ikke heelt hva jeg driver med her! Help please!!

Ser riktig ut alt.

På a) ville jeg kanskje formulert meg litt annerledes.

$x\equiv y \mod 5$ betyr at $x-y=5n$ for et heltall $n$.

Refleksiv: Siden $x-x=0=5\cdot 0$, er $x\sim x$.

Symmetrisk: La $x\sim y$. Da er $x-y=5n$, og $y-x=-(x-y)=5\cdot (-n)$, så $y\sim x$.

Transitiv: La $x\sim y$ og $y\sim z$. Da er $x-y=5n$ og $y-z=5m$ for heltall $n,m$. Dermed er $x-z=(x-y)+(y-z)=5n+5m=5(n+m)$, så $x\sim z$.

Altså er modulus en ekvivalensrelasjon.

Tusen takk.

Men jeg vet ikke helt hva jeg gjorde på oppgave c. Skjønner ikke teorien bak helt, har det bare på tunga liksom. Kan noen forklare eller gi et lite hint?

c) Det som skjer her er at du deler inn mengden av heltall inn i følgende fem såkalte restklasser: $[0]_{\sim}=\{5n|n\in\mathbb{Z}\}$, $[1]_{\sim}=\{1+5n|n\in\mathbb{Z}\}$, $[2]_{\sim}=\{2+5n|n\in\mathbb{Z}\}$, $[3]_{\sim}=\{3+5n|n\in\mathbb{Z}\}$, og $[4]_{\sim}=\{4+5n|n\in\mathbb{Z}\}$.

Det er klart at hvis du definerer en avbildning f(x) ved at $f([0]_{\sim})=a$, $f([1]_{\sim})=b$ etc., så er $f$ en bijeksjon.

Tusen takk