matematikk.net

Ligger polynomet [tex]\large \,2x^3 + 5x + 7\,[/tex] i kjernen til evalueringshomomorfien
[tex]\large \phi_{996}: \mathbb{Z_{997}[x]}\rightarrow \mathbb{Z_{997}}[/tex]?

Løses denne vha Fermats lille teorem?
Kan noen uansett vise hvordan problemet angripes!

Hint: Dette er veldig enkelt om du velger en annen representant for elementet du evaluerer i!

Kjernen til evalueringshomomorfien er de polynomene p som gir 0 hvis du evaluerer i 996.

Vil [tex]2x^3+5x+7=0[/tex] når du evaluerer i x=996?

Som Brahmagupta skriver blir dette veldig enkelt når du velger en annen representant for 996 i [tex]\mathbb{Z}_{997}[/tex]

sbra wrote:Kjernen til evalueringshomomorfien er de polynomene p som gir 0 hvis du evaluerer i 996.
Vil [tex]2x^3+5x+7=0[/tex] når du evaluerer i x=996?
Som Brahmagupta skriver blir dette veldig enkelt når du velger en annen representant for 996 i [tex]\mathbb{Z}_{997}[/tex]

Takker for svar, hva er en annen representant for 996 ?
Blir svaret her nei?

Kongruens modulo et tall, f.eks. 997 som i dette tilfellet, gir en ekvivalensrelasjon der alle tall som gir samme tall mod 997 er i samme ekvivalensklasse.

Ekvivalensklassen [996] er derfor alle tall 996 + x*997, der [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex].

Kan du ut i fra dette se en annen representant for klassen som gjør beregningen enkel? (dvs. finne en x som gir et enkelt tall å regne med)

sbra wrote:Kongruens modulo et tall, f.eks. 997 som i dette tilfellet, gir en ekvivalensrelasjon der alle tall som gir samme tall mod 997 er i samme ekvivalensklasse.
Ekvivalensklassen [996] er derfor alle tall 996 + x*997, der [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex].
Kan du ut i fra dette se en annen representant for klassen som gjør beregningen enkel? (dvs. finne en x som gir et enkelt tall å regne med)

Kan jeg bare skrive:
[tex]P(x)=2x^3+5x+7[/tex]
[tex]P(-1)=0[/tex]
og
[tex]996 \equiv -1 \pmod{997}[/tex]

ergo igger P i kjernen til evalueringshomomorfien

Jepp