Re: Terninger og sannsynlighet
Posted: 07/05-2016 11:19
by Tom André Tveit
Hei Nebuchadnezzar.
Jeg skal forsøke gi deg et svar.
Fremgangsmåten for å finne svaret på spørsmålet er enkelt sagt:
1. Finne gjennomsnittet for alle de ulike mulige kombinasjonene til (n,m) eller (p,q) - utfallet vil her være likt for både (n,m) og (p,q) slik at det er det samme hvilke av disse som brukes til å finne gjennomsnittene.
2. Samle sammen alle like gjennomsnitt for alle de ulike gjennomsnittene til de ulike kombinasjonene.
3. Til slutt finne hvor mange par ((n,m),(p,q)) det finnes ved å finne ut hvor mange par der for hvert ulikt gjennomsnitt og summere disse til slutt.
Det kan nevnes på dette punkt at der er en svakhet i oppgaveteksten da det ikke nevnes om rekkefølgen til de ulike kombinasjonene skal tas hensyn til eller ikke, og derfor blir det gitt to ulike svar på spørsmålet; ett som ikke tar hensyn til rekkefølgen og ett som tar hensyn til rekkefølgen av kombinasjonene.
1. Finne gjennomsnittet for alle de ulike mulige kombinasjonene til (n,m) eller (p,q) - utfallet vil her være likt for både (n,m) og (p,q) slik at det er det samme hvilke av disse som brukes til å finne gjennomsnittene:
Gjennomsnittet til hver av de ulike kombinasjonene blir funnet ved å legge sammen alle øynene på én av terningene i en kombinasjon og dele på mengden sider på terningen og deretter gange med mengden terninger. Et døme på utregning av gjennomsnittet for kombinasjonen (2,2) er:
Gjennomsnitt = ((1+2):2)·2 = (3:2)·2 = 6:2 = 3
Alle de ulike gjennomsnittene samlet i en liste med henholdsvis økende mengde terningar og mengde øyne:
(1,1) 1
(1,2) 1,5
(1,3) 2
(1,4) 2,5
(1,5) 3
(1,6) 3,5
(1,7) 4
(1,8) 4,5
(1,9) 5
(1,10) 5,5
(2,1) 2
(2,2) 3
(2,3) 4
(2,4) 5
(2,5) 6
(2,6) 7
(2,7) 8
(2,8) 9
(2,9) 10
(2,10) 11
(3,1) 3
(3,2) 4,5
(3,3) 6
(3,4) 7,5
(3,5) 9
(3,6) 10,5
(3,7) 12
(3,8) 13,5
(3,9) 15
(3,10) 16,5
(4,1) 4
(4,2) 6
(4,3) 8
(4,4) 10
(4,5) 12
(4,6) 14
(4,7) 16
(4,8) 18
(4,9) 20
(4,10) 22
(5,1) 5
(5,2) 7,5
(5,3) 10
(5,4) 12,5
(5,5) 15
(5,6) 17,5
(5,7) 20
(5,8) 22,5
(5,9) 25
(5,10) 27,5
(6,1) 6
(6,2) 9
(6,3) 12
(6,4) 15
(6,5) 18
(6,6) 21
(6,7) 24
(6,8) 27
(6,9) 30
(6,10) 33
(7,1) 7
(7,2) 10,5
(7,3) 14
(7,4) 17,5
(7,5) 21
(7,6) 24,5
(7,7) 28
(7,8) 31,5
(7,9) 35
(7,10) 38,5
(8,1) 8
(8,2) 12
(8,3) 16
(8,4) 20
(8,5) 24
(8,6) 28
(8,7) 32
(8,8) 36
(8,9) 40
(8,10) 44
(9,1) 9
(9,2) 13,5
(9,3) 18
(9,4) 22,5
(9,5) 27
(9,6) 31,5
(9,7) 36
(9,8) 40,5
(9,9) 45
(9,10) 49,5
(10,1) 10
(10,2) 15
(10,3) 20
(10,4) 25
(10,5) 30
(10,6) 35
(10,7) 40
(10,8) 45
(10,9) 50
(10,10) 55
2. Samle sammen alle like gjennomsnitt for alle de ulike gjennomsnittene til de ulike kombinasjonene:
En liste der like gjennomsnitt er samlet sammen og der gjennomsnittene er økende:
(1,1) 1
(1,2) 1,5
(1,4) 2,5
(1,3) 2
(2,1) 2
(1,6) 3,5
(1,5) 3
(2,2) 3
(3,1) 3
(1,8) 4,5
(3,2) 4,5
(1,7) 4
(2,3) 4
(4,1) 4
(1,10) 5,5
(1,9) 5
(2,4) 5
(5,1) 5
(2,5) 6
(3,3) 6
(4,2) 6
(6,1) 6
(3,4) 7,5
(5,2) 7,5
(2,6) 7
(7,1) 7
(2,7) 8
(4,3) 8
(8,1) 8
(2,8) 9
(3,5) 9
(6,2) 9
(9,1) 9
(3,6) 10,5
(7,2) 10,5
(2,9) 10
(4,4) 10
(5,3) 10
(10,1) 10
(2,10) 11
(5,4) 12,5
(3,7) 12
(4,5) 12
(6,3) 12
(8,2) 12
(3,8) 13,5
(9,2) 13,5
(4,6) 14
(7,3) 14
(3,9) 15
(5,5) 15
(6,4) 15
(10,2) 15
(3,10) 16,5
(4,7) 16
(8,3) 16
(5,6) 17,5
(7,4) 17,5
(4,8) 18
(6,5) 18
(9,3) 18
(4,9) 20
(5,7) 20
(8,4) 20
(10,3) 20
(6,6) 21
(7,5) 21
(4,10) 22
(5,8) 22,5
(9,4) 22,5
(7,6) 24,5
(6,7) 24
(8,5) 24
(5,9) 25
(10,4) 25
(5,10) 27,5
(6,8) 27
(9,5) 27
(7,7) 28
(8,6) 28
(6,9) 30
(10,5) 30
(7,8) 31,5
(9,6) 31,5
(8,7) 32
(6,10) 33
(7,9) 35
(10,6) 35
(8,8) 36
(9,7) 36
(7,10) 38,5
(9,8) 40,5
(8,9) 40
(10,7) 40
(8,10) 44
(9,9) 45
(10,8) 45
(9,10) 49,5
(10,9) 50
(10,10) 55
3. Til slutt finne hvor mange par ((n,m),(p,q)) det finnes ved å finne ut hvor mange par der for hvert ulikt gjennomsnitt og summere disse til slutt:
Vi ser av listen over at der er på det meste 4 like gjennomsnitt for de ulike gjennomsnittene, og der er alt fra og med 1 enkeltstående gjennomsnitt til 4 like gjennomsnitt.
Utfall 1 får delutfall for hver av de ulike mengdene like gjennomsnitt 1,2,3 og 4 ut fra følgende regel:
Delutfall = (Mengde like gjennomsnitt - 1)!, for mengden like gjennomsnitt større enn 1. Er mengden like gjennomsnitt lik 1 blir delutfallet = 0.
Hvert av delutfallene blir derfor:
1 gjennomsnitt gir: Delutall = 0
2 like gjennomsnitt gir: Delutall = (2 - 1)! = 1! = 1
3 like gjennomsnitt gir: Delutall = (3 - 1)! = 2! = 3
4 like gjennomsnitt gir: Delutall = (4 - 1)! = 3! = 6
For ordens skyld legges det ved en liste over mengden like gjennomsnitt for de ulike gjennomsnittene som også brukes når utfall 2 blir funnet. Listen viser på hver linje først gjennomsnittet og deretter etter et mellomrom og mengden like gjennomsnitt:
1 1
1,5 1
2,5 1
2 2
3,5 1
3 3
4,5 2
4 3
5,5 1
5 3
6 4
7,5 2
7 2
8 3
9 4
10,5 2
10 4
11 1
12,5 1
12 4
13,5 2
14 2
15 4
16,5 1
16 2
17,5 2
18 3
20 4
21 2
22 1
22,5 2
24,5 1
24 2
25 2
27,5 1
27 2
28 2
30 2
31,5 2
32 1
33 1
35 2
36 2
38,5 1
40,5 1
40 2
44 1
45 2
49,5 1
50 1
55 1
Utfall 1 blir derfor når alle delutfallene blir lagt sammen:
72 ulike par
Utfall 2 får delutfall for hver av de ulike mengdene like gjennomsnitt 1, 2, 3 og 4 ut fra følgende regel:
Delutfall = (Mengde like gjennomsnitt - 1) · (Mengde like gjennomsnitt)
Hvert av delutfallene blir derfor:
1 gjennomsnitt gir: Delutall = (1-1)·1 = 0·1 = 0
2 like gjennomsnitt gir: Delutall = (2-1)·2 = 1·2 = 2
3 like gjennomsnitt gir: Delutall = (3-1)·3 = 2·3 = 6
4 like gjennomsnitt gir: Delutall = (4-1)·4 = 3·4 = 12
Utfall 2 blir derfor når alle delutfallene blir lagt sammen:
144 ulike par
Oppsummert får vi altså de to ulike utfallene: Utfall 1 = 72 ulike par når rekkefølgen ikke tas hensyn til og utfall 2 = 144 ulike par når rekkefølgen tas hensyn til.