matematikk.net

I oppgave 6.56b i Sinus R2 (2008) stusser jeg litt over hvordan man skal velge øvre og nedre grense for det bestemte integralet.

Oppgavetekst for Oppg 6.56 i Sinus R2 (2008 utgave):
En bedrift omsetter for 200 millioner kr i 2008 og regner med å øke omsetningen med 15 millioner kr per år.

• a) Finn den samlede omsetningen i perioden 2008-2017 ved å summere en rekke.

• b) Finn den samlede omsetningen i perioden 2008-2017 ved å regne ut et integral.

Utregninger / fasit for oppg 6.56:

• a)
  Formel for omsetning i millioner i år "n": [tex]a_n=185+15n[/tex]
  Formel for samlet omsetning i millioner etter "n" år: [tex]s_n=\frac{n(200+(185+15n))}{2}[/tex]
  (Svar på oppgave: [tex]s_{10}=2650[/tex] millioner etter 10 år)

• b) fasit
  [tex]\int_{1}^{11}(15n+185)dn=2750[/tex]

Det jeg er usikker på er:
Hvordan vet vi at det skal brukes 11 som øvre grense og 1 som nedre grense for integralet? og ikke øvre 10 og nedre 0?



År 2008 - 1
År 2009 - 2
År 2010 - 3
År 2011 - 4
År 2012 - 5
År 2013 - 6
År 2014 - 7
År 2015 - 8
År 2016 - 9
År 2017 - 10

Du kunne brukt 0 til 10, men da må du passe på at mengden penger blir riktig

$ \hspace{1cm}
\int_0^{10} 15n + 200 \,\mathrm{d}n = \int_1^{11} 15n + 185 \,\mathrm{d}n
$

Siden omsetningen var 200 det første året. Programmerere liker gjerne å begynne på null, men når det er snakk om det første året er det naturlig å starte på 1.

Takk for svaret.
Jeg forstår at vi kan komme frem til samme resultat om vi endre grensene hvis vi også modifiserer funksjonen. Men jeg forstår fortsatt ikke helt det med forskjellige integrasjonsgrenser gitt at vi ikke endrer funksjonen.

Anntagelser jeg bygger spørsmålene mine på:

• Bedriften har totalt 200mill i omsetning første år, totalt 215mill omsenting andre år osv.

• Ved å bruke det bestemte integral [tex]\int_{1}^{11}15n+185dn[/tex] så starter vi på [tex]\frac{200 mill}{d}[/tex] i begynnelsen av 2008, som så øker mot [tex]\frac{215 mill}{d}[/tex] i slutten av 2008, slik av vi ender opp med et for høyt resultat.

• Ved å bruke det bestemte integral [tex]\int_{0}^{10}15n+185dn[/tex] så starter vi på [tex]\frac{185 mill}{d}[/tex] i begynnelsen av 2008, som så øker mot [tex]\frac{200 mill}{d}[/tex] i slutten av 2008, slik av vi ender opp med et for lavt resultat.

Spørsmålene mine er da:
Er antagelsene mine feil?

Hvis mine anntagelser ikke er feil, hvorfor velger vi da [tex]\int_{1}^{11}[/tex] og ikke [tex]\int_{0}^{10}[/tex]? Er dette bare en konvensjon? eller er det en spesifikk grunn til det?
Uansett om vi velger 11 og 1 eller 10 og 0 så ender vi vel ikke opp med totalt 200 mill i omsetning det første året når vi bruker integrasjon?


Alternativt: Hvorfor regner vi ikke ut [tex]\int_{1}^{11}[/tex] og [tex]\int_{0}^{10}[/tex] for så å ta gjennomsnittet av de to? Dette ville vel gitt et mer presist resultat?