matematikk.net

Hei

Starter på delkapittel 1.9 nå - Uendelige rekker. Jeg prøver å forstå oppgave 1.90 og eksemplet/forklaringen under på siden jeg har tatt bilde av, men skjønner det ikke. Hvor i all verden kommer "1-" i uttrykket for S1 "1-1/2^1" inn? Hvor får man det fra? Det samme gjelder jo S2, S3, S4. I det hele tatt, jeg skjønner ikke summeringen? Er det en formel? Eller er det noe de har kommet frem til?

De ønsker å vise at $s_n = 1-\frac{1}{2^n}$. Dette skal vi vise at gjelder for alle $n \geq 1$.

De begynner med å vise at dette stemmer når $n = 1$.

Vi vet at $s_1 = \frac{1}{2}$, men nå ønsker vi å vise at $s_1 = 1-\frac{1}{2^1}$.

Derfor skriver de $s_1 = \frac{1}{2} = 1-\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2^1}$.

Er du uenig i noen av likehetene her?

Det er forresten nyttig for oss å vite nøyaktige hvilke likhetstegn / steg du ikke skjønner.

Fibonacci92 wrote:De ønsker å vise at $s_n = 1-\frac{1}{2^n}$. Dette skal vi vise at gjelder for alle $n \geq 1$.

De begynner med å vise at dette stemmer når $n = 1$.

Vi vet at $s_1 = \frac{1}{2}$, men nå ønsker vi å vise at $s_1 = 1-\frac{1}{2^1}$.

Derfor skriver de $s_1 = \frac{1}{2} = 1-\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2^1}$.

Er du uenig i noen av likehetene her?

Det er forresten nyttig for oss å vite nøyaktige hvilke likhetstegn / steg du ikke skjønner.

Jeg er ikke uenig noenting, jeg bare skjønner det ikke. Er det en ny regel de prøver å vise/innføre? Jeg er litt usikker på om jeg skjønte forklaringen din også. Er egentlig alt fra den røde stiplete linja og nedover jeg ikke er med på. Hvor kommer 1 tallet fra osv?

I matematikk må man trikse litt av og til!

Av og til har du et 5-tall og så må du bruke at $5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$, andre ganger må du skrive $5 = 4 + 1$ f.eks. for å vise at 5 har rest 1 når det deles på 4. Noen ganger skriver man at $ 7 = 4+2+1$ fordi man vil få frem at 7 skrives som $111_2$ i binærtallsystemet.

I dette tilfellet skriver de at $\frac{1}{2} = 1- \frac{1}{2}$ fordi de ønsker å vise at $s_1 = 1-\frac{1}{2}$. Er du uenig i at $\frac{1}{2} = 1- \frac{1}{2}$ ?

Noen ganger i matematikk er det ønskelig å ha en kortform for noen uttrykk. I første omgang er det det de skal vise nå.

F.eks. hvis jeg ber deg om å regne ut

$1+2+3+ \dots + 100$, så er det mye raskere å regne det ut dersom du vet at dette har verdi $\frac{100 \cdot 101}{2}$ enn å måtte legge sammen 100 tall.

På samme vis.

Hva er

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{1000}}$? Jo det er $1-\frac{1}{2^{1000}}$. Nå slapp du å legge sammen 1000 ledd for å finne ut verdien.


Et annet poeng er at summen blir farlig nærme 1 for veldig store n.

Fibonacci92 wrote:I matematikk må man trikse litt av og til!

Av og til har du et 5-tall og så må du bruke at $5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$, andre ganger må du skrive $5 = 4 + 1$ f.eks. for å vise at 5 har rest 1 når det deles på 4. Noen ganger skriver man at $ 7 = 4+2+1$ fordi man vil få frem at 7 skrives som $111_2$ i binærtallsystemet.

I dette tilfellet skriver de at $\frac{1}{2} = 1- \frac{1}{2}$ fordi de ønsker å vise at $s_1 = 1-\frac{1}{2}$. Er du uenig i at $\frac{1}{2} = 1- \frac{1}{2}$ ?

Noen ganger i matematikk er det ønskelig å ha en kortform for noen uttrykk. I første omgang er det det de skal vise nå.

F.eks. hvis jeg ber deg om å regne ut

$1+2+3+ \dots + 100$, så er det mye raskere å regne det ut dersom du vet at dette har verdi $\frac{100 \cdot 101}{2}$ enn å måtte legge sammen 100 tall.

På samme vis.

Hva er

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{1000}}$? Jo det er $1-\frac{1}{2^{1000}}$. Nå slapp du å legge sammen 1000 ledd for å finne ut verdien.


Et annet poeng er at summen blir farlig nærme 1 for veldig store n.

Ok, ser den nå. Virker for meg noe magisk når boka vier lite plass til en beskrivelse av hva som skjer her. Uansett, takk skal du ha. Ser hvordan det henger sammen nå.

Denne er forresten relevant:

http://math.stackexchange.com/a/734062/125919