matematikk.net

$a,b,c,d,e$ og $f$ er positive heltall mindre enn $1000$, og de tilfredsstiller $4a=5b=6c=7d=8e=9f$. Finn tallet $a$.

plutarco wrote:$a,b,c,d,e$ og $f$ er positive heltall mindre enn $1000$, og de tilfredsstiller $4a=5b=6c=7d=8e=9f$. Finn tallet $a$.

Nå kan ikke jeg alle mulige fancy matematiske notasjoner, så ikke forvent for mye av løsningen, men jeg skal prøve å forklare hvordan jeg ville gått frem for å løse den.

Starter med en omskriving: [tex]b=\frac{\left(4a\right)}{5},\:c=\frac{\left(2a\right)}{3},\:d=\frac{\left(4a\right)}{7},\:e=\frac{a}{2},\:f=\frac{\left(4a\right)}{9}[/tex].

Ser da at [tex]a[/tex] må inneholde primtallsfaktorene 3, 5 og 7.

[tex]3\cdot5\cdot7=105[/tex], [tex]a[/tex] må derfor være et tall i 105-gangen. Samtidig må det kunne være delelig med 2, siden [tex]a=2e[/tex], derfor må [tex]a[/tex] være et partall.
Dette gir oss mulighetene [tex]\lt 1000[/tex]: 210, 420, 630, 840.

Ser også at [tex]a[/tex] må være delelig med 9. Av tallene 210, 420, 630, 840, er det kun 630 som er delelig med 9, og derfor er [tex]a=630[/tex].

Med [tex]a=630[/tex] får vi: [tex]a=630,b=504,c=420, d=360, e=315, f=280[/tex], som alle er heltall[tex]\lt 1000[/tex]

Min løsning innebærer å ha PC'en på over natta. Minst.

Dolandyret wrote:

plutarco wrote:$a,b,c,d,e$ og $f$ er positive heltall mindre enn $1000$, og de tilfredsstiller $4a=5b=6c=7d=8e=9f$. Finn tallet $a$.

Nå kan ikke jeg alle mulige fancy matematiske notasjoner, så ikke forvent for mye av løsningen, men jeg skal prøve å forklare hvordan jeg ville gått frem for å løse den.

Starter med en omskriving: [tex]b=\frac{\left(4a\right)}{5},\:c=\frac{\left(2a\right)}{3},\:d=\frac{\left(4a\right)}{7},\:e=\frac{a}{2},\:f=\frac{\left(4a\right)}{9}[/tex].

Ser da at [tex]a[/tex] må inneholde primtallsfaktorene 3, 5 og 7.

[tex]3\cdot5\cdot7=105[/tex], [tex]a[/tex] må derfor være et tall i 105-gangen. Samtidig må det kunne være delelig med 2, siden [tex]a=2e[/tex], derfor må [tex]a[/tex] være et partall.
Dette gir oss mulighetene [tex]\lt 1000[/tex]: 210, 420, 630, 840.

Ser også at [tex]a[/tex] må være delelig med 9. Av tallene 210, 420, 630, 840, er det kun 630 som er delelig med 9, og derfor er [tex]a=630[/tex].

Med [tex]a=630[/tex] får vi: [tex]a=630,b=504,c=420, d=360, e=315, f=280[/tex], som alle er heltall[tex]\lt 1000[/tex]

Ser utmerket ut! Oppgaven er forresten fra Georg Mohr konkurransen i år.

Her er en litt enklere fremgangsmåte: (mer eller mindre ekvivalent med dolandyret sin løsning)
De seks måtene det samme produktet blir oppnådd på viser at produktet vårt er delelig med 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Det minste naturlige tallet med denne egenskapen som vi er ute etter er [tex]5*7*8*9=2520[/tex]. Som er det samme som: [tex]2520=4*630[/tex]. Siden [tex]a<1000[/tex], er [tex]a=630[/tex]