matematikk.net

Hallais. Har de oppgavene her som jeg så gjerne skulle hatt litt hjelp til:

Assume that A is a subset of some underlying universal set U.
Prove the complement laws by showing that:

(i) $A \cup \overline{A} = U$

Jeg prøver å vise med det boken kaller "set builder notation"..

$
A \cup \overline{A}
= \left \{ x | x \in A \cup \overline{A} \right \}
= \left \{ x | x \in A \lor x \in \overline{A} \right \}
= \left \{ x | x \in A \lor x \notin A \right \}
$

og her stopper det litt. jeg prøver å komme meg hit slik at jeg kan skrive:

$
= \left \{ x | x \in A \lor x \in U \right \}
= \left \{ x | x \in A \cup U \right \}
= \left \{ x | x\in U \right \} = U
$

Men jeg sliter altså med denne i midten. fra

$
x \in \overline{A} = x \notin A = x \in U
$.. for det er vel sant uansett, alle x er jo " $\in U$" implisitt ?

Så er det den andre oppgaven

(ii) $A \cap \overline{A} = \varnothing$

$
A \cap \overline{A} = \left \{x | x \in A \cap \overline{A} \right \}
= \left \{ x | x \in A \land x \in \overline{A} \right \}
= \left \{ x | x \in A \land x \notin A \right \}
$

Tror kanskje jeg klarer å løse den hvis jeg skjønner hvilken vei jeg skal gå på den første. men tips er uansett velkommen. på forhånd takk!!!

Hvis du kaller [tex]x \in A[/tex] og [tex]y \in \bar{A}[/tex] blir det kanskje enklere å holde styr på. Da har man jo nødvendigvis [tex]x \neq y, \forall x,y \in A \cup \bar{A}[/tex]

Likhet mellom mengder A og B vises generelt ved å vise at både $A\subseteq B$ og $B\subseteq A$.

La $x\in A\cup \bar{A}$. Hvis $x\in A$ så er $x\in U$. Hvis $x\in \bar{A}$ så er $x\in U$. Derfor er $A\cup \bar{A} \subseteq U$.

La $x\in U$. Hvis $x\in A$, så er $x\in A\cup \bar{A}$. Hvis $x\not \in A$, så er $x\in \bar{A}$ og følgelig er $x\in A\cup\bar{A}$. Derfor er $U\subseteq A\cup \bar{A}$.

Derfor er $A\cup \bar{A} = U$.