matematikk.net

Hvordan regner man ut grenseverdien lim[sub]t->0[/sub](e[sup]t[/sup]-1)/t ? Jeg vet at den blir 1, og at man kan finne den med l'Hôpitals regel, men her er poenget å finne den deriverte av e[sup]x[/sup], så det gir liten mening å bruke den.

Tallet e kan forstås som lim(1+1/n)[sup]n[/sup] når n→∞

Om vi sier at t=1/n så vil t→0 når n→∞

Dermed blir e=lim(1+t)[sup]1/t[/sup] når t→0

e[sup]t[/sup]=lim(1+t) når t→0

Da har du ett utrykk for e[sup]t[/sup] når t→0 som du kan bruke i grenseverdien du oppgav;

lim[sub]t->0[/sub](1+t-1)/t=1

For å finne den deriverte av e[sup]x[/sup] benytter man på samme måte at e=lim(1+1/n)[sup]n[/sup] når n→∞

definisjonen på den deriverte;

Lim [f(x+∆x)-f(x)]/∆x når ∆x→0

Lim [e[sup]x+∆x[/sup]-e[sup]x[/sup]]/∆x når ∆x→0

**Lim [e[sup]x[/sup]e[sup]∆x[/sup]-e[sup]x[/sup]]/∆x når ∆x→0

e=lim(1+1/n)[sup]n[/sup] når n→∞

1/n=∆x↔n=1/∆x når n→∞ vil ∆x→0

Da kan denne grensen skrives som e=lim(1+∆x)[sup]1/∆x[/sup] når ∆x→0

e[sup]∆x[/sup]=lim(1+∆x) når ∆x→0

Dette utrykket kan vi substituere for e[sup]∆x[/sup] i **
Dermed blir grenseverdien slik:

Lim [e[sup]x[/sup](1+∆x)-e[sup]x[/sup]]/∆x når ∆x→0

Lim [e[sup]x[/sup]+∆xe[sup]x[/sup]-e[sup]x[/sup]]/∆x når ∆x→0

dermed har du lim e[sup]x[/sup] når ∆x→0 = e[sup]x[/sup]