matematikk.net

"Finn likningen for et plan som inneholder z-aksen og linjen y=x i xy-planet".
Jeg skjønner ikke... For det første så har jeg ingen retningsvektor, og for det andre. hva menes med "inneholder z-aksen"? Hvordan går jeg frem for å løse denne?

Linjen som ligger på z-aksen har retningsvektor lik enhetsvektoren i z-retning, altså [tex]\vec{e_z}=[0,0,1][/tex].
Linjen [tex]y=x[/tex] i xy-planet har retningsvektor [tex]\vec{r}=[1,1,0][/tex].
Normalvektoren [tex]\vec{n}[/tex] står vinkelrett på begge vektorene. Det samme gjør vektorproduktet [tex]\vec{e_z}\times \vec{r}[/tex].
Altså [tex]\vec{n}\parallel \vec{e_z}\times \vec{r}=\begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z}\\ 0 &0 &1 \\ 1 &1 &0 \end{vmatrix}=\left [ \begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 0&0\\ 1&1 \end{vmatrix} \right ] =[-1,1,0][/tex].
Velger [tex]\vec{n}=[-1,1,0][/tex]. Både z-aksen og linjen [tex]y=x[/tex] går gjennom punktet [tex](0,0,0)[/tex].
Dermed er planet gitt ved likninga:
[tex]1(x-0)-1(y-0)+0(z-0)=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow y=x[/tex]