Kan prøve å svare deg skikkelig. Anta jeg skal integrere $f(x)$
$
\int f(x) \,\mathrm{d}x
$
Så bruker jeg substitusjonen $x = g(u)$, hvor $g$ bare er en funksjon av $u$. For eksempel om $x = u^2 + 1$ så er $g(u) = u^2 + 1$.
Men nå integrerer vi $u$ så da gir det ikke mening å skrive $\mathrm{d}x$ det betyr jo i realiteten at vi summerer opp en rekke bittesmå elementer
med bredde $x$, men bredden vår nå må avhengig av $u$. Derfor med missbruk av notasjon skriver en
$
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \right] \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right] \mathrm{d}u
= \frac{1}{g'(u)} \mathrm{d}u
$
Merk at overgangene kanskje virker logiske, men det krever en del regning å vise dette formelt. Denne tråden forklarer det enda nøyere =)
http://math.stackexchange.com/questions ... bstitution
Kanskje en enda enklere forklaring er å glemme triksingen med $\mathrm{d}x$ og $\mathrm{d}u$. Vi vet følgende
$
\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C
$
Som du kan vise ved å derivere. En kan huske denne formen ved å derivere høyresiden $[ F\bigl(g(x)\bigr)]' = g'(x) \cdot F'\bigl(g(x)\bigr) = g'(x) \cdot f\bigl(g(x)\bigr)$.
Ved å nå integrere begge sider får vi "kjerneregelen for derivasjon" eller substitusjon som mange like å kalle det. Så i stedet for å trikse
kan en heller vise at integralet kan skrives på formen ovenfor.
