matematikk.net

Vet ikke hvordan jeg skal angripe oppgaven helt:

Et ni-komplett-tall er et nisifret tall som inneholder alle sifrene fra 1 til 9. Summen av alle ni-komplett-tallene er et ganske stort tall. Hvor mange sifre har denne summen?

Man har [tex]9!=362880[/tex] ulike kombinasjoner. Men hvordan kan vi finne summen av alle disse tallene?

Noen så kan gi meg et hint ?

Her er et hint: Hvis du kun tar for deg sifrene som står på enerplassen, hvor mange ganger opptrer hvert siffer her? Hva blir summen av alle sifrene på enerplassen i de $9!$ forskjellige tallene?

Alternativt kan dette være en programmeringssoppgave som man kan finne ut lett ved et par klikk

Forstår ikke hvordan man løser problemet? har noen en løsning?

Som stensrud skriver kan vi skrive et ni-komplett tall på formen $\sum_{i=1}^9 a_i 10^{i-1}=a_1+10a_2+...+10^8a_9$.

Da blir summen av alle ni-komplette tall $\sum_j \sum_{i=1}^9 a_{i_j} 10^{i-1}$ der j går over alle ni-komplette tall.

Nå kan denne summen omskrives til $\sum_j a_{1_j}+10\sum_j a_{2_j}+...+10^8\sum_j a_{9_j}$, der $\sum_j a_{i_j}=(1+2+3+...+9)\cdot 8!=1814400$ for alle $i$.

Altså blir summen av alle ni-komplette tall $1814400\sum_{i=1}^9 10^{i-1}=1814400\cdot 111111111$

Drezky wrote:Vet ikke hvordan jeg skal angripe oppgaven helt:

Et ni-komplett-tall er et nisifret tall som inneholder alle sifrene fra 1 til 9. Summen av alle ni-komplett-tallene er et ganske stort tall. Hvor mange sifre har denne summen?

Man har [tex]9!=362880[/tex] ulike kombinasjoner. Men hvordan kan vi finne summen av alle disse tallene?

Noen så kan gi meg et hint ?

Hei!
Jeg så først på summen av alle 3-komplete tall:
123
+132
+213
+232
+312
+321

Vi ser at summene nedover i hver kolonne blir summen av tallene fra 1 til 3 ganget med 2
På de 4-komplette tallene ser vi på samme måte at summene nedover blir summen av tallene fra 1 til 4 ganget med 6 (altså 3!)
De 9-komplette tallene vil derfor få summen av tallene fra 1 til 9 ganget med 8! i alle kolonene nedover, altså 45*8! = 1814400.
Menten over det nest bakerste tallet blir da 181440, og vil langsomt vokse for hver kolonne, men absolutt ganske sikkert ikke finne på å bli 7 siffer langt. Antall siffer i summen av de 9-komplette tallene må derfor være 9 + 6 = 15.
Hvis du vil vite den nøyaktige summen, må man være mer nøyaktig.

Ivan

Og ved å se på hva plutarco skrev, skjønner jeg at jeg lett kan regne ut den nøyaktige summen også!
Vi vet at vi har:
1814400 enere
1814400 tiere
1814400 hundrere
1814400 tusenere
.
.
.
1814400 100milllionere

Da kan vi jo åpenbart(og det var ikke åpenbart for meg før, men nå har jeg lært noe nytt!) bare gange 1814400 med 111111111 og få svaret vi leter etter.

1814400*111111111 = 201599999798400, som heldigvis inneholder 15 siffer slik jeg håpet på i stad!

Ivan

Ivan wrote:

Drezky wrote:Vet ikke hvordan jeg skal angripe oppgaven helt:

Et ni-komplett-tall er et nisifret tall som inneholder alle sifrene fra 1 til 9. Summen av alle ni-komplett-tallene er et ganske stort tall. Hvor mange sifre har denne summen?

Man har [tex]9!=362880[/tex] ulike kombinasjoner. Men hvordan kan vi finne summen av alle disse tallene?

Noen så kan gi meg et hint ?

Hei!
Jeg så først på summen av alle 3-komplete tall:
123
+132
+213
+232
+312
+321

Vi ser at summene nedover i hver kolonne blir summen av tallene fra 1 til 3 ganget med 2
På de 4-komplette tallene ser vi på samme måte at summene nedover blir summen av tallene fra 1 til 4 ganget med 6 (altså 3!)
De 9-komplette tallene vil derfor få summen av tallene fra 1 til 9 ganget med 8! i alle kolonene nedover, altså 45*8! = 1814400.
Menten over det nest bakerste tallet blir da 181440, og vil langsomt vokse for hver kolonne, men absolutt ganske sikkert ikke finne på å bli 7 siffer langt. Antall siffer i summen av de 9-komplette tallene må derfor være 9 + 6 = 15.
Hvis du vil vite den nøyaktige summen, må man være mer nøyaktig.

Ivan