matematikk.net

Lucas nummerne er definert som [tex]L_{0}=2,\, \, \, L_{1}=1,[/tex]
[tex]L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}[/tex] for [tex]n\geq 0[/tex]
Finn et lukket uttrykk for summen;

[tex]\sum_{k=0}^{n}L_{k}^{2}[/tex]


Med hensyn på [tex]L_{n}[/tex]

Sikker på det ikke skal stå $L_k$ i summen?

Nebuchadnezzar wrote:Sikker på det ikke skal stå $L_k$ i summen?

Nei skal stå "[tex]L_{k}^{2}[/tex]". Bra du så det. Endret det nå =)

Vet ikke om det var akkurat dette svaret du var ute etter, men det ser ganske pent ut da: $L_{2n+1}+2+(-1)^n$.

Først løser vi den karakteristiske likningen til rekursjonslikningen $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$, nemlig $t^2-t-1=0$, som har løsningene $\alpha:= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ og $\beta:= \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Altså er $L_n=C\alpha^2+K\beta^n$, hvor vi setter inn startverdiene og løser
$$\begin{align}

C\alpha^0+K\beta^0&=L_0\\
C\alpha^1+K\beta^1&=L_1\\

\end{align}$$
for $C=K=1$. Nå har vi at $L_j^2=(\alpha^j+\beta^j)^2=\alpha^{2j}+\beta^{2j}+2(\alpha\beta)^j=L_{2j}+2(-1)^n$, så
$$\sum_{i=0}^nL_i^2=\sum_{i=0}^nL_{2i}+2(-1)^n=\left(\sum_{i=0}^n\alpha^{2i}+\beta^{2i}\right)+1+(-1)^n=\frac{1-\alpha^{2n+2}}{1-\alpha^2}+\frac{1-\beta^{2n+2}}{1-\beta^2}+1+(-1)^n$$

som etter litt algebra blir til $L_{2n+2}-L_{2n}+2+(-1)^n=\boxed{L_{2n+1}+2+(-1)^n}$.

stensrud wrote:Vet ikke om det var akkurat dette svaret du var ute etter, men det ser ganske pent ut da: $L_{2n+1}+2+(-1)^n$.

Først løser vi den karakteristiske likningen til rekursjonslikningen $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$, nemlig $t^2-t-1=0$, som har løsningene $\alpha:= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ og $\beta:= \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Altså er $L_n=C\alpha^2+K\beta^n$, hvor vi setter inn startverdiene og løser
$$\begin{align}

C\alpha^0+K\beta^0&=L_0\\
C\alpha^1+K\beta^1&=L_1\\

\end{align}$$
for $C=K=1$. Nå har vi at $L_j^2=(\alpha^j+\beta^j)^2=\alpha^{2j}+\beta^{2j}+2(\alpha\beta)^j=L_{2j}+2(-1)^n$, så
$$\sum_{i=0}^nL_i^2=\sum_{i=0}^nL_{2i}+2(-1)^n=\left(\sum_{i=0}^n\alpha^{2i}+\beta^{2i}\right)+1+(-1)^n=\frac{1-\alpha^{2n+2}}{1-\alpha^2}+\frac{1-\beta^{2n+2}}{1-\beta^2}+1+(-1)^n$$

som etter litt algebra blir til $L_{2n+2}-L_{2n}+2+(-1)^n=\boxed{L_{2n+1}+2+(-1)^n}$.

Jepp, ser fint ut det!