matematikk.net

Hei! Jeg holder på med en innleveringsoppgave, og sitter helt fast på følgende oppgave:

Under ideelle forhold dobler E.coli-bakterien sin populasjon på 55 minutter. Vi antar at en person blir infisert av bakterien, og at 10 av dem klarer seg, slik at de kan danne grunnlag for en ny populasjon. Videre skal vi anta at det er kritisk for vertsorganismen når populasjonen når 100 000 bakterier. Hvor lang tid tar det før det blir kritisk for vertsorganismen?

Det jeg ønsker hjelp til er hvordan jeg skal stille opp stykket.

På forhånd takk!

Finn t slik at

[tex]f(t) = \left ( K \cdot (1 + \frac{t}{55}) \right )^{10} = 100 000[/tex],

der K er begynnelsespopulasjonen?

Hei, takk for svar! Det var til stor hjelp, men jeg har et lite spørsmål til: hvorfor blir parantesene^10??

Parentesen opphøyd i 10 kommer av at hver av bakteriene som overlever lager en ny populasjon, som hver av dem blir dobbelt så stor når t = 55. Nå ser jeg at det nok ikke kan stemme, siden jeg da antar at hver bakterie lager 10 nye kolonier, som lager 10 nye koloni og så videre. Hvis vi ikke antar det, så blir det vel

[tex]f(t) = 10 \cdot (1 + \frac{t}{55}) = 100 000[/tex]

som kanskje er mer rimelig utifra oppgaveteksten. Da antar jeg at det blir med de 10 koloniene.

Jeg er fortsatt usikker på denne, så hvis noen har mulighet til å hjelpe meg litt i gang, vennligst gjør det

Gjest wrote:Jeg er fortsatt usikker på denne, så hvis noen har mulighet til å hjelpe meg litt i gang, vennligst gjør det

Trenger du hjelp med å gjøre den, eller forstå hvorfor stykket er slik?

Se bort fra 'rådene' du har fått ovenfor.
Har egentlig ikke peiling, men la oss se om dette kan løses lettvint uten å skjønne så mye.

Åpenbart at dette vokser eksponentielt, som banksparing og mye annet. Formelen må derfor være noe sånt som dette:

[tex]F(t)=Br^{kt}[/tex]


Vet ikke om formelen er rett, men for å starte med [tex]f(0)=10[/tex] så må vi velge B=10. Videre ser vi at dette doble seg etter en viss tid, så vi prøver med r=2, og k=1/55. Mye annet ville passe her, men dette kan vi fylle inn rett fra oppgaven, og vi ser at når t=55 blir [tex]F(55)=10*2^{1/55*55}=20[/tex]

En umiddelbar feil er at dette er et diskret problem, og vi prøver å finne en kontinuerlig løsning, men ignorer dette.

Løsningen ser umiddelbart grei ut, så nå er det bare å sette [tex]F(t)=10*2^{1/55*t}>100000[/tex]. Du finner sikkert t lett selv

Tips: [tex]100000=2^{log_{2}100000}=2^{log_{10}100000/log_{10}2}=2^{5/log2}[/tex]

Etter å ha sett på oppgaven med nye øyne har jeg et nytt forslag:

[tex]f(t) = 10 \cdot (2 \cdot {t \over 55}) = 100 000[/tex]

populasjonen fordobler seg hvert 55te minutt : [tex]2 \cdot {t \over 55}[/tex]

10 av dem overlever, og står fritt til å fordoble seg [tex]( \cdot 10 )[/tex]

så man får kritisk tid

[tex]t = 100 000 \cdot 55 \cdot {1 \over 20}[/tex]