matematikk.net

Finn alle $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $|x|f(y)+yf(x)=f(xy)+f(x^2)+f(f(y))$ for alle reelle x,y.

Vi gjør først noen innsettinger:

$(x,y)\rightarrow(1,y)$:
$$\cancel{f(y)}+yf(1)=\cancel{f(y)}+f(1)+f(f(y))$$
så $f(f(x))=(x-1)f(1)$ for alle $x$, som vi setter inn i likningen sammen med $(x,y)\rightarrow (x,1)$:
$$|x|f(1)+\cancel{f(x)}=\cancel{f(x)}+f(x^2)$$
altså er $f(x)=\sqrt{x}f(1)$ for alle ikke-negative $x$, spesielt er $f(0)=0$. Dette impliserer at $f(f(0))=0$, og siden $f(f(x))=(x-1)f(1)$, må $f(f(0))=0=-1f(1)$, så $f(1)$ er også lik $0$, men da blir også alle $f(f(x))$ lik null. Vi får også at $f(x)=\sqrt{x}f(1)=0 \ \ \forall x\in \mathbb{R^+}$. $f(f(y))$ og $f(x^2)$-leddene faller bort i den originale likningen, så vi står igjen med
$$|x|f(y)+yf(x)=f(xy)$$
Her lar vi $(x,y)\rightarrow(\frac{1}{|x|},-|x|)$:
$$\frac{f(-|x|)}{|x|}-|x|f(\frac{1}{|x|})=\frac{f(-|x|)}{|x|}=f(-1)$$
Så her kan vi konkludere med at $f(x)=|x|f(-1)$ for alle negative $x$. For å vise at også $a:=f(-1)=0$, lar vi $x$ og $y$ være to forskjellige negative tall, samtidig som vi antar at $a\neq0$:
$$|x||y|\cancel{a}+y|x|\cancel{a}=|xy|\cancel{a}\Leftrightarrow |x||y|+y|x|=|xy|\Leftrightarrow y|x|=0$$
som er absurd. Det følger at eneste løsning til funksjonalligningen er $f(x)=0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}$.

Ser fint ut!