Page 1 of 1
Grenseverdi
Posted: 04/11-2015 18:34
by Kjemikern
Morsom oppgave som jeg strevde med!
Finn [tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\infty }\frac{e^{-x}cosx}{\frac{1}{n}+nx^2}dx[/tex]
Re: Grenseverdi
Posted: 05/11-2015 22:26
by Kjemikern
Hint: Arzelas teorem
Re: Grenseverdi
Posted: 05/11-2015 23:16
by Gustav
Sikker på at det skal være cos(x) i telleren?
Re: Grenseverdi
Posted: 05/11-2015 23:17
by Kjemikern
plutarco wrote:Sikker på at det skal være cos(x) i telleren?
Jepp, ønsker du et nytt hint?
Re: Grenseverdi
Posted: 06/11-2015 00:25
by Gustav
Kjemikern wrote:plutarco wrote:Sikker på at det skal være cos(x) i telleren?
Jepp, ønsker du et nytt hint?
Nei da. Har ikke rukket å sett så veldig mye på oppgaven ennå, så artigere med litt utfordring.
Re: Grenseverdi
Posted: 06/11-2015 01:19
by Gustav
$\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{ne^{-x}\cos x}{1+(nx)^2}\, dx$.
Substitusjon $y= nx$, så $dy=ndx$. Vi får $\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}\, dy$.
Siden $|\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}|< \frac{1}{1+y^2}$, $\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}=\frac{1}{1+y^2}$ og $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+y^2}\,dy=\frac{\pi}{2}<\infty$, så gir dominert konvergensteorem at $\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{ne^{-x}\cos x}{1+(nx)^2}\, dx=\frac{\pi}{2}$.
Re: Grenseverdi
Posted: 06/11-2015 18:02
by Kjemikern
plutarco wrote:$\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{ne^{-x}\cos x}{1+(nx)^2}\, dx$.
Substitusjon $y= nx$, så $dy=ndx$. Vi får $\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}\, dy$.
Siden $|\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}|< \frac{1}{1+y^2}$, $\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-\frac{y}{n}}\cos \frac{y}{n}}{1+y^2}=\frac{1}{1+y^2}$ og $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+y^2}\,dy=\frac{\pi}{2}<\infty$, så gir dominert konvergensteorem at $\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{ne^{-x}\cos x}{1+(nx)^2}\, dx=\frac{\pi}{2}$.
Helt korrekt, din metode var mer elegant enn min. Min så slik ut:
$I=\lim_{n\to\infty }\int_0^{\infty }\frac{ne^{-x}\cos x}{1+nx^2}\, dx$.
[tex]I=\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{0}^{\infty }\frac{e^{-x}cosx}{1+n^2x^2}ndx=I=\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{0}^{\infty }\frac{e^{-\frac{u}{n}}cos\frac{u}{n}}{1+u^2}du[/tex]
Siden funksjonen [tex]\frac{e^{-\frac{u}{n}}cos\frac{u}{n}}{1+u^2}du[/tex] er konvergent for alle [tex]u[/tex] og [tex]n[/tex] mellom 0 og uendelig. Vi kan brukes Arzelas teorem til å flytte grenseverdien inn i integralet:
[tex]I=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\pi }{2}.[/tex]