matematikk.net

La [tex]0<n_{1}<n_{2}...[/tex] være et helt tall

Vis da at; [tex]\sum_{i=1}^{\infty }\frac{n_{i+1}-n_{i}}{n_{i}}=\infty .[/tex]

Rekken
\[\sum_{i=1}^\infty\left( \sum_{k=n_i}^{n_{i+1}-1}\frac1{k}\right)=\sum_{k=n_1}^\infty \frac1{k}\]
divergerer siden den harmoniske rekken divergerer. Hvis vi observerer at for enhver $i\in\mathbb{N}$ så er
\[\frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}\geq\frac1{n_i}+\frac1{n_i+1}+\cdots+\frac1{n_{i+1}-1}= \sum_{k=n_i}^{n_{i+1}-1}\frac1{k},\]
følger det at $\sum_{i=1}^\infty \frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}$ divergerer ved sammenligningstesten.

Brahmagupta wrote:Rekken
\[\sum_{i=1}^\infty\left( \sum_{k=n_i}^{n_{i+1}-1}\frac1{k}\right)=\sum_{k=n_1}^\infty \frac1{k}\]
divergerer siden den harmoniske rekken divergerer. Hvis vi observerer at for enhver $i\in\mathbb{N}$ så er
\[\frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}\geq\frac1{n_i}+\frac1{n_i+1}+\cdots+\frac1{n_{i+1}-1}= \sum_{k=n_i}^{n_{i+1}-1}\frac1{k},\]
følger det at $\sum_{i=1}^\infty \frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}$ divergerer ved sammenligningstesten.

Så bra ut, strålende!