matematikk.net

Jeg tenkte å legge inn en kanskje veldig interessant oppgave her i forbindelse med differensiallikninger.

a) Vis at [tex]cos(n\cdot arccos(x))[/tex] tilfredsstiller følgende differensiallikning:

[tex](1-x^2)y''-xy'+n^2y=0[/tex]

b) Vis at [tex]cos(n\cdot arccos(x))[/tex] er et polynom for alle naturlige tall [tex]n[/tex].

Hint: La [tex]x=cos(\theta )[/tex]. Betrakt [tex]cos(k+1)\theta[/tex] + [tex]cos(k-1)\theta[/tex], og bruk induksjon.

Jeg kom ikke akkurat noen vei her, men jeg tenker kanskje på a) at man skal skrive om [tex]cos(n\cdot arccos(x))[/tex], og sette inn i likningen og vise at det gir lik 0.

a) Du kan derivere og dobbelderivere $\cos(n\arccos(x))$ og sette det inn for $y'$ og $y''$ i likninga.

b) Kan ikke by på mer enn hintet; induksjon fungerer. Og husk at $\cos(\arccos(x)) = x$.

Aleks855 wrote:a) Du kan derivere og dobbelderivere $\cos(n\arccos(x))$ og sette det inn for $y'$ og $y''$ i likninga.

b) Kan ikke by på mer enn hintet; induksjon fungerer. Og husk at $\cos(\arccos(x)) = x$.

a) Jeg utførte dette i Geogebra: https://gyazo.com/78b5bcd3bcc9d18a243885e783509531
Men som du ser, så fikk jeg det ikke til å bli lik null. Jeg vet ikke om jeg har satt inn noe feil der? Jeg gikk gjennom uttrykket noen ganger nå, men jeg klarer ikke å spotte feilen.

b) Når det gjelder induksjonen som man skal bruke for å løse denne oppgaven.

Er det slik at man skal følge den samme tankegangen her også?

1) Teste for laveste f. eks t.

2) Anta at uttrykket stemmer for t. Da må vi vise at den også stemmer for t+1.

3) Sette opp konklusjon.

Etter det jeg kan se ut ifra hintet, så skal man gå for at [tex]x=cos(\theta )[/tex], og bruke videre [tex]cos(k+1)\theta[/tex] og [tex]cos(k-1)\theta[/tex].
Det jeg ikke skjønner her, er hva thetaen og (k+1) og (k-1) representerer når theta er utenfor parentesen?

Noen innspill?

Oppdatering: Fikk til a)

Men stuck på b) fortsatt.

ThomasSkas wrote:
b) Vis at [tex]cos(n\cdot arccos(x))[/tex] er et polynom for alle naturlige tall [tex]n[/tex].

Hint: La [tex]x=cos(\theta )[/tex]. Betrakt [tex]cos(k+1)\theta[/tex] + [tex]cos(k-1)\theta[/tex], og bruk induksjon.

Jeg kom ikke akkurat noen vei her, men jeg tenker kanskje på a) at man skal skrive om [tex]cos(n\cdot arccos(x))[/tex], og sette inn i likningen og vise at det gir lik 0.

Siden dette er nøtteforumet gir jeg løsningen på b) uten hint.

Har identiteten $\cos((k+1)x)=2\cos x \cos kx-\cos((k-1)x)$.

Steg 1: Åpenbart at $\cos (0\arccos \theta)$ og $\cos (\arccos \theta)$ er polynomer i $\theta$.

Steg 2: Anta at $\cos ((n-1)\arccos \theta)$ og $\cos (n\arccos \theta)$ er polynomer. Identiteten over gir nå at $\cos ((n+1)\arccos \theta)=2\theta \cos (n\arccos \theta)-\cos((n-1)\arccos \theta)$. Siden produkt og sum av polynomer er et polynom, vil $\cos ((n+1)\arccos \theta)$ dermed være et polynom. $\blacksquare$