matematikk.net

Litt artig oppgave som jeg strevde litt med;

La [tex]a, b \,\,og \,\,c[/tex] være tre ulike løsninger (komplekse løs.) til
[tex]\large x^3-x^2-x-1=0[/tex].

Bestem
[tex]a^2+b^2+c^2, \,\,a^3+b^3+c^3\,\, og \,\,a^4+b^4+c^4[/tex]

Vi definerer først

$\sigma_1:=a+b+c$
$\sigma_2:=ab+bc+ca$
$\sigma_3:=abc$
$x_n:=a^n+b^n+c^n \ \forall \ n\in \mathbb{N_0}$

Vi er gitt at $(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=x^3-\sigma_1x^2+\sigma_2x-\sigma_3$ er lik $x^3-x^2-x-1$. Ved å sammenlikne koeffisienter ser vi at $\sigma_1=1, \ \sigma_2=-1, \ \sigma_3=1$. Nå er

\[x_2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=\sigma_1^2-2\sigma_2=3\]

og fra før vet vi at $x_1=\sigma_1=1$ og $x_0=3$. For å finne de andre $x_n$ merker vi oss at

\[x_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}=(a^n+b^n+c^n)(a+b+c)-(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})(ab+bc+ca)+(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})abc=x_n\sigma_1-x_{n-1}\sigma_2+x_{n-2}\sigma_3,\]

som gir rekursjonslikningen $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}+x_{n-2}$, og vi kan enkelt regne ut $x_3=7$ og $x_4=11$.

stensrud wrote:Vi definerer først
$\sigma_1:=a+b+c$
$\sigma_2:=ab+bc+ca$
$\sigma_3:=abc$
$x_n:=a^n+b^n+c^n \ \forall \ n\in \mathbb{N_0}$
Vi er gitt at $(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=x^3-\sigma_1x^2+\sigma_2x-\sigma_3$ er lik $x^3-x^2-x-1$. Ved å sammenlikne koeffisienter ser vi at $\sigma_1=1, \ \sigma_2=-1, \ \sigma_3=1$. Nå er
\[x_2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=\sigma_1^2-2\sigma_2=3\]
og fra før vet vi at $x_1=\sigma_1=1$ og $x_0=3$. For å finne de andre $x_n$ merker vi oss at
\[x_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}=(a^n+b^n+c^n)(a+b+c)-(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})(ab+bc+ca)+(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})abc=x_n\sigma_1-x_{n-1}\sigma_2+x_{n-2}\sigma_3,\]
som gir rekursjonslikningen $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}+x_{n-2}$, og vi kan enkelt regne ut $x_3=7$ og $x_4=11$.

Ser jo fint ut dette, spesielt med rekursjonsrelasjonen...

Jeg gjorde det ganske likt i starten med sammenlikning av koeffisienter.