matematikk.net

Dette er en liten og ganske grei geometri-trigonometrioppgave.

Gitt en trekant med sidene 2, 3 og 4. Hva er radius (R) til den omskrevne sirkelen til trekanten ?
Det er sjølsagt ikke lov å bruke formelen:

[tex]R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4A}[/tex]
der
a, b og c er sidene i trekanten med areal (A).

Cosinussetningnen gir at $4^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\alpha}\Leftrightarrow \cos\alpha=-\frac{1}{4}$, hvor $\alpha$ betegner vinkelen mellom sidene som er $2$ og $3$ lange. Videre er $sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\implies \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ettersom $\sin\alpha>0$. Det følger av den utvidede sinussetningen at $\frac{a}{\sin A}=2R$, og vi setter inn verdiene vi har:
$$\frac{4}{\sin\alpha}=2R$$
$$\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=2R$$
$$R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$

... som med nøyaktig samme fremgangsmåte (og litt faktoriserning) kan generaliseres til
$$R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$$
hvor $a,b$ og $c$ er sidelengdene i trekanten.

stensrud wrote:... som med nøyaktig samme fremgangsmåte (og litt faktoriserning) kan generaliseres til
$$R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$$
hvor $a,b$ og $c$ er sidelengdene i trekanten.

sjølsagt rett... er den siste en "R" med en modifisert Heron's formel?

Joda, det blir vel også en måte å "utlede" Heron's formel på, så vidt jeg kan se (sett at $R=\frac{abc}{4A}$ er kjent).