matematikk.net

Jeg trenger hjelp med en oppgave om tellbare, uendelige mengder. Hvis det er noen snillinger der ute som kan forklare litt og komme med noen eksempler, hadde jeg blitt superglad!

Oppgaven:
For hver av følgende egenskaper, finn eksempler på tellbare, uendelige mengder S og T, slik at egenskapene holder.

a) S\T er endelig.
b) S\T er uendelig.
c) S\T = 8

I boken jeg har er: \ definert som mengdedifferanse=(x er element i S og x er ikke element i T)

Det jeg vet, er at blant annet mengden av rasjonale tall er tellbar og uendelig, tror jeg? Men hvordan skal jeg finne eksempler på at disse egenskapene over holder?

På forhånd, tusen takk!

$\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ er tellbare og uendelige. $\mathbb{R}$ er uendelig ikketellbar.

a) $S=\mathbb{N}$, $T=\mathbb{N}\setminus \{1\}$

b) $S=\mathbb{Z}$, $T=\mathbb{N}$

c) $S=\mathbb{Z}$, $T=\mathbb{Z}\setminus \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

TrengerVeldigHjelp wrote:Jeg trenger hjelp med en oppgave om tellbare, uendelige mengder. Hvis det er noen snillinger der ute som kan forklare litt og komme med noen eksempler, hadde jeg blitt superglad!

Oppgaven:
For hver av følgende egenskaper, finn eksempler på tellbare, uendelige mengder S og T, slik at egenskapene holder.

a) S\T er endelig.
b) S\T er uendelig.
c) S\T = 8

I boken jeg har er: \ definert som mengdedifferanse=(x er element i S og x er ikke element i T)

Det jeg vet, er at blant annet mengden av rasjonale tall er tellbar og uendelig, tror jeg? Men hvordan skal jeg finne eksempler på at disse egenskapene over holder?

På forhånd, tusen takk!

Her er det viktig å ha orden på definisjoner:

En mengde $A$ er
- tellbar hvis det finnes en injeksjon $f: A \rightarrow \mathbb{N}$.
- tellbar og uendelig hvis $A$ er tellbar men ikke endelig.

Med denne definisjonen ser vi at $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ selvsagt er tellbar og uendelig.
Andre mengder hvor vi enkelt kan lage en injeksjon $f:A \rightarrow \mathbb{N}$ er $A = \mathbb{N}^{≥2} := \{n\in \mathbb{N} : n ≥ 2\}$, med injeksjonen $f(x) = x - 1$.

Så et mulig svar på oppgave (a) er å la $S := \mathbb{N}$ og $T:=\mathbb{N}^{≥2}$.

Anbefaler deg å prøve selv før du leser mine eksempelsvar på (b) og (c).

Mulige svar på (b):
La $S:= \mathbb{Q}$ og $T:=\mathbb{Z}$
La $S:= \mathbb{Z}$ og $T:=\mathbb{N}$
La $S:= \mathbb{N}$ og $T:=\{n\in\mathbb{N} : n\text{ er partall}\}$

Mulig svar på (c):
La $S:= \mathbb{N}$ og $T:=\mathbb{N}^{≥9}$

Gustav wrote:$\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ er tellbare og uendelige. $\mathbb{R}$ er uendelig ikketellbar.

a) $S=\mathbb{N}$, $T=\mathbb{N}\setminus \{1\}$

b) $S=\mathbb{Z}$, $T=\mathbb{N}$

c) $S=\mathbb{Z}$, $T=\mathbb{Z}\setminus \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Hei! Mener du at N\N = {1}
eller at T = N \ {1} ?

$\mathbb N \setminus \mathbb N = \emptyset$ fordi vi tar alle de naturlige tallene, bortsett fra alle de naturlige tallene, og står igjen med ingenting. $\emptyset$ er den tomme mengde.

Det Gustav har gjort er å la $S$ være mengden av alle naturlige tall, og $T$ er alle naturlige tall bortsett fra $1$. Resultatet er da at $S \setminus T = \{1\}$ som er en endelig mengde.