matematikk.net

Det nærmer seg eksamenstid, og i den anledning sitter jeg med tidligere eksamensoppgaver i Matematisk analyse og Vektoralgebra. Og her er det en oppgave om Implisitt Derivasjon. Jeg vet vi hadde en forelesning om det, men har verken noen minner om hva det var, eller notater på det. Så jeg lurte på om noen kunne prøve å klare opp i hva dette er, og hvordan jeg løser følgende oppgave?

"Bruk implisitt derivasjon til å finne y' = dy/dx når y^2 + e^-x = cos y"

Jeg slenger inn et lite tilleggsspørsmål her. Hvis man skal derivere f.eks. V = 4/3*pi*r^3 med hensyn på tid, får man følgende:

dV/dt = 4*pi*r^2 * dr/dt

Kan noen på en rasjonell måte forklare hvorfor jeg får med raten dr/dt her?

Implisitt derivasjon er egentlig ikke noe spesielt. Du ser på derivasjon som en operator (hvis det sier deg noe?). Denne operatoren er gitt ved d/dt, og virker på et eller annet uttrykk, feks en funksjon.

Ved implisitt derivasjon så bare anvender vi denne operatoren på begge sider av ligningen. Dvs vi deriverer begge sider av ligningen med hensyn på t.

Og til gjest, du må vite hvilke parametere/variable som avhenger av tiden. Hvis både V = V(t) og r = r(t) blir ligningen
V(t) = 4/3*pi*r(t)^3
Deriver begge sider (bruk kjerneregelen for r(t)!)

Operator? Nei, det skjønte jeg ikke helt

Men da glemmer du det ordet

Bare deriver på begge sider av ligningen, og bruk kjerneregelen der det trengs. Før du deriverer kan du godt gjøre det litt tungvindt og skrive y(x) istedet for y, så vet du hva som avhenger av hva.

hvorfor må man gange med y' på begge sidene, og skal man gange y' med alle ledd, eller bare noen bestemte? isåfall hvilke?

Jeg skjønner ikke hvor du har det fra at man skal gange med y' på begge sider. Du skal derivere på begge sider av ligningen.

Jeg har registrert at mange sliter med å forstå implisitt derivasjon i begynnelsen. Jeg forstår ikke hva som er problemet. Glem ordet "implisitt" og bruk bare ordet "derivasjon" i stedet.

Implisitt derivasjon er jo akkurat det samme som vanlig derivasjon, men nå står ikke lenger funksjonen y(x) alene på den ene siden.

Jeg kan ta noen eksempler: Vi har alltid y = y(x)

y =x + x^2 , deriver på begge sider
d/dx (y) = d/dx (x + x^2)
y' = 1 + 2x


2 + y = x^2 , deriver på begge sider
d/dx (2 + y) = d/dx (x^2)
y' = 2x


x + y = x^2, deriver på begge sider
d/dx (x + y) = d/dx (x^2)
1 + y' = 2x


xy = x^2, deriver på begge sider
d/dx (xy) = d/dx (x^2) , bruker produktregelen
1*y + x*y' = 2x

Oppgave til deg: sett y' alene på den ene siden, og sett inn for y

Én til:

y^2 = x^2 , deriver på begge sider
d/dx (y^2) = d/dx (x^2) , bruker kjerneregelen
2*y*y' = 2x

Du kan få lov til å ordne opp i denne.

Håper ting ble litt klarere nå

Varjen wrote:hvorfor må man gange med y' på begge sidene, og skal man gange y' med alle ledd, eller bare noen bestemte? isåfall hvilke?

når du får y' da du deriverer y er vel egentlig bare kjerneregelen.
ved "vanlig" derivasjon får du også x', men dette er jo bare 1 og 1*ettellerannet gidder vi ikke ta med.