matematikk.net

Sliter veldig med fremgangsmåten til denne oppgaven, noen som kunne hjulpet meg med dette?

Oppgaven:
En sylinder har radius r og høyde h. Ønsker at dummen av disse skal være lik konstanten C.
Bestem radien og høyden slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.

Hvordan skal jeg gå frem her?

[tex]Volum = \pi r^2h[/tex]
Skal vi nå derivere for å finne maks/min blir det litt vanskelig (før du lærer om partiell derivasjon) siden funksjonen vår [tex]V(r, h)[/tex] er avhengig at to variabler. Målet vårt må altså være å kvitte oss med en av variablene så vi kan derivere.
[tex]r+h = c[/tex]

To ligninger klarer du å utnytte det til noe? Når du har fått V til å være avhengig av kun en variabel deriverer du bare som vanlig, setter V = 0 og velger den verdien av løsningen som gir maksverdi.

Går det greit da?

Men hvordan får jeg V til å kun være avhengig av en variabel? Skjønner siste leddet med å derivere, V=0

Gjest07 wrote:Men hvordan får jeg V til å kun være avhengig av en variabel? Skjønner siste leddet med å derivere, V=0

bruk ligningene jeg ga deg. løse ligningssystem kan du.

Volum=πr2h Denne likningen?
Jeg skjønner virkelig ikke hvordan jeg skal gjøre dette..

[tex]V = \pi r^2 h[/tex]
[tex]r+ h = c \Leftrightarrow h = c - r[/tex]
[tex]V = \pi r^2 (c-r)[/tex]

Deriver og sett lik 0. c er bare en konstant. Hva har du funnet nå?

Jeg har at V`= 2r?

Nå tror jeg du surrer en del. Ikke gjør det vanskeligere for deg selv enn det trenger å være.
Hva er den deriverte av dette [tex]ax^2[/tex]? og hva er den deriverte av dette [tex]-bx^3[/tex]? Hvis du nå bytter ut x med r, a med [tex]\pi c[/tex] og b med [tex]\pi[/tex] i svarene dine hva får du da?

[tex]V(r) = \pi cr^2 - \pi r^3[/tex]
[tex]V'(r) = ?[/tex]

Du har den vanlige ligningen for volumet av en sylinder:

$V = A\cdot h = \pi r^2 \cdot h$ Ligning 1

Og du har ligning fra sammenhengen du har fått oppgitt i oppgaveteksten "Ønsker at summen av disse skal være lik konstanten C":

$r + h = C$ Ligning 2

Du kan sette inn Ligning 2 i Ligning 1 (eller motsatt selvsagt) om du stokker litt om på Ligning 1 først:

$h = C - r$

Du ser at ligningen over er lik Ligning 2 og du erstatter så $h$ i Ligning 1 med $C - r$:

$V = \pi r^2 \cdot (C - r)$

Du har nå gått fra V(r,h) til V(r) og da kan du derivere $V = \pi r^2 \cdot (C - r)$ med hensyn på r.

$V(r) = \pi r^2 \cdot (C - r) = \pi r^2 C - \pi r^3 $

$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 2 \pi C r - 3 \pi r^2$

Setter så $\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$ for å finne r som gir max V:

$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$

$2 \pi C r - 3 \pi r^2 = 0 $

$ r = 0$ eller $2 \pi C - 3 \pi r = 0$ som gir $ r = \frac{2}{3} C$

Ser jo med en gang at $r=0$ ikke gir max V, så d står vi igjen med svaret $r = \frac{2}{3} C$.

Med sammenhengen $h = C-r$ får vi $h = \frac{1}{3}C$

Håper det ga klarhet til det du ikke skjønnte