matematikk.net

Lurer litt på hvordan løse følgende integral (delbrøksintegrasjonsoppgave).

Syns det ble litt vanskelig når teller har høyere grad enn nevner.

[tex]\int_{0}^{1} \frac{x^4+2x}{x^2+1}dx[/tex]

Sliter med å løse den ved bruk av delvis integrasjon og
ser ikke helt løsningen med delbrøksoppspaltning. Da gjenstår
vel bare substitusjon..? Hint Tips?

iBrus

delbrøksoppspalting gir

[tex]{(x^4+2x)}:{(x^2+1)}=x^2-1\,+\, \frac{2x+1}{x^2+1}[/tex]

Polynomdivisjon er, i min mening, i de fleste tilfeller et bedre alternativ når teller er av høyere grad enn nevner.

Jeg lurer på om Janhaa ikke mente at han polynomdividerte i stedet for delbrøkoppspaltet.

Evt bare smart algebra $x^4+2x = (x^4 \color{blue}{-1}) + (2x \color{red}{+ 1}) = (x^2 + 1)(x^2 - 1) + (2x+ 1)$
Slik at

$ \hspace{1cm}
\frac{x^4 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{(x^2+1)(x^2 - 1)}{x^2 + 1} + \frac{2x + 1}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{2x}{x^2+1}
$

Som var det som skulle vises.

Polynomdivisjon var nøkkelen.

Takk folkens

iBrus