Funksjonalligning
Posted: 06/08-2015 20:03
La f:R-> R
Finn alle f slik at $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ for alle x,y.
Finn alle f slik at $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ for alle x,y.
La $x = 0$ i funksjonallikningen som gir oss
(1) $f(f(y)) + f(0) = f(y) + yf(0)$
La $ y = 1$ i funksjonallikningen som gir
(2) $f(x + f(x+1)) = x + f(x+1)$, altså finnes det fixed points.
La $m$ være et fixed point of $f$, altså $f(m) = m$.
Da får vi fra (1) at
$f(0) = mf(0)$ slik at enten er $f(0) = 0$ og/eller så er $m = 1$.
Merk at (2) gir oss at
(3) $x + f(x+1) \in \{0,1\} \forall x$
(3) gir oss ved å sette $x = -1$ at $f(0) = 1$ eller $f(0) = 2$, altså er $f(0) \neq 0$
Da må vi ha at $x + f(x+1) = 1 \forall x$ eller snarere at $f(z) = 2-z$
Ved å sette inn $f(z) = 2-z$ inn i funksjonallikningen ser vi at den oppfyller den.