matematikk.net

Hvor mange av elementene i $A=\{1!,2!,...,2015!\}$ er kvadrattall?

Kun 1!, ettersom primtallfaktorene forekommer et odde antall ganger.

Bearman wrote:...primtallfaktorene forekommer et odde antall ganger.

Det stemmer vel ikke helt. moteksempel:

$6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6$, hvor primfaktoren $2$ forekommer én gang i $2$, to ganger i $4$, og én gang i $6$, totalt fire ganger, i.e. ikke et odde antall ganger. Samme med primfaktoren $3$, som forekommer én gang i både $3$ og $6$, totalt to ganger.

$1! = 1$ er det eneste kvadrattallet i $A$. Dersom et tall ikke er et kvadrattall, så må minst en av primtallsfaktorene til tallet ha odde multiplisitet. Av Bertrands postulat finnes det minst ett primtall $p$ slik at $\frac{n}{2} < p < n$ for alle heltall $n > 2$. Det neste heltallet som vil ha faktoren $p$ er $2p$, men $n < 2p$. Faktoren $p$ vil derfor bare forekomme en gang i faktoriseringen til $n!$, og har derfor en multiplisitet lik 1. Derfor vil $n!$ ikke være kvadrattall for heltall $n > 2$. (Det er lett å se at $2!$ ikke er et kvadrattall.)

Alternativ metode:

Eksempelvis $17!, 18!, 19!, \ldots, 33!$ må alle være ikke-kvadratiske, fordi de er alle delelig på 17 kun én gang.

Samme argument kan føres for alle primtall, slik at alle fakultetene, bortsett fra trivielle $1! = 1^2$ dekkes.

stensrud wrote:hvor primfaktoren $2$ forekommer én gang i $1$

Du mener i 2?

MatIsa wrote:$1! = 1$ er det eneste kvadrattallet i $A$. Dersom et tall ikke er et kvadrattall, så må minst en av primtallsfaktorene til tallet ha odde multiplisitet. Av Bertrands postulat finnes det minst ett primtall $p$ slik at $\frac{n}{2} < p < n$ for alle heltall $n > 2$. Det neste heltallet som vil ha faktoren $p$ er $2p$, men $n < 2p$. Faktoren $p$ vil derfor bare forekomme en gang i faktoriseringen til $n!$, og har derfor en multiplisitet lik 1. Derfor vil $n!$ ikke være kvadrattall for heltall $n > 2$. (Det er lett å se at $2!$ ikke er et kvadrattall.)

Fin løsning!

Aleks855 wrote:

stensrud wrote:hvor primfaktoren $2$ forekommer én gang i $1$

Du mener i 2?

Ups, endret.