matematikk.net

Hei,
Jeg har kommet over noen gode forklaringer av teorien bak epsilon-delta-definisjonen til bruk for å vise at grenseverdien er der, men dessverre har det ikke vært noen gode eksempler. Lurer på om noen har en lenke til et eksempel hvor ed-def. er brukt, eller om noen kunne ta seg tiden til å ta et eksempel her?

Et relativt enkelt eksempel å forstå er å vise at alle polynomer er kontinuerlige på $\mathbb{R}$.

Beviset kan vises utelukkende ved hjelp av epsilon delta-definisjonen (men selvsagt kan en ta noen snarveier underveis)

$\hspace{1cm} 1)$ Vis at $x$ er kontinuerlig ved $x_0$

$\hspace{1cm} 2)$ Vis at enhver linær kombinasjon av kontinuerlige funksjoner, er kontinuerlig. Dersom $f$ og $g$ er kontinuerlige vis at $a \cdot f + b \cdot g$ er kontinuerlig.
Dette steget er nok enklest om en deler det opp i to.

$\hspace{1cm} 3)$ Vis at ethvert produkt av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige. Dersom $f$ og $g$ er kontinuerlige vis at $f \cdot g$ er kontinuerlig.

Siste er litt tricky, men fortsatt helt innafor å vise. Epsilon delta blir mye brukt for å vise at ting konvergerer, eller er kontinuerlig.