matematikk.net

Min datter (10.klasse) kom hjem med denne oppgaven:

Du har to utvalg. For enkelhets skyld så ser de slik ut:

Utvalg 1: Tre svarte kule, tre hvite kuler.
Utvalg 2: To svarte kuler, to hvite kuler.

Oppgaven lyder: Hva er sannsynligheten for at du trekker to svarte kuler, når du trekker en kule fra hvert utvalg?

Min umiddelbare tanke på løsning var:

Det er 3/6 sjanse for å trekke en svart kule fra utvalg 1, og 2/4 sjanse for å trekke en svart kule fra utvalg 2, altså 3/6 x 2/4 = 6/24, altså at det er 6/24 sjanse for at man trekker to svarte kuler.


MEN, så sier læreren at fordi det IKKE er angitt i hvilken rekkefølge man skal trekke kulene, så må man snu rekkefølgen på utvalgene, altså at man først trekker en kule fra utvalg 2, og deretter en kule fra utvalg 1.

Det gir 2/4 x 3/6 = 6/24, OG SÅ skal man da legge sammen disse to sannsynlighetene, altså 6/24 + 6/24 = 12/24 = 1/2, altså er det 1/2 sjanse for at man trekker to svarte kuler.
Og det er her jeg detter av lasset. HVORFOR blir det 1/2 sjanse for at man trekker to svarte kuler fra disse to utvalgene, bare fordi man ikke har fått angitt i hvilken rekkefølge man skal trekke kulene i????

(INGEN av mattelærerne på skolen hennes kunne forklare det heller, bare så det er sagt, de jeg snakket med ville også sagt at svaret var 6/24, og ikke 1/2).

På forhånd takk.

Det er riktig som du sier! Hvis man skulle ha trukkert en svart og en hvit kule, og det ikke er en bestemt rekkefølge spørsmålet spør om, så er det som som læreren din sier. men i med at det er to svarte så har det ikke noe å si hvem du trekker først, den er svart uansett. Håper dette hjalp

Eh, nei. Det hjalp meg ikke dessverre.

Oppgaven var å finne sannsynligheten for å få to svarte kuler når man trekker fra disse to utvalgene. Dersom svaret på oppgaven faktisk er 6/24 + 6/24 = 12/24 = 1/2, så ønsker jeg svar på:

1. Hvorfor skal man snu rekkefølgen på trekningen fra utvalgene, og

2. Hvorfor skal man legge sammen disse to sannsynlighetene?

Man skal ikke det! Her har læreren rett og slett blundret.

Sannsynligheten for å trekke svart kule er 0.5 i både utvalg 1 og 2. Uansett om man begynner å trekke i utvalg 1 eller 2, så er sannsynligheten lik 0.5*0.5=0.25

Realist1 wrote:Man skal ikke det! Her har læreren rett og slett blundret.

Sannsynligheten for å trekke svart kule er 0.5 i både utvalg 1 og 2. Uansett om man begynner å trekke i utvalg 1 eller 2, så er sannsynligheten lik 0.5*0.5=0.25

Lite forbehold her... når du beskriver de to utvalgene, så ser jeg du har skrevet "For enkelhets skyld så ser de slik ut:" ... Forbeholdet mitt er da altså at forenklingen din ikke har endret problemet slik at utregningen blir annerledes. Post gjerne oppgaven i sin opprinnelige form. Den kan nemlig fort ha egenskaper som gjør det riktig å tenke på trekningen både forlengs og baklengs, for deretter å addere sannsynlighetene sammen.

Dersom du har gjengitt oppgaven helt riktig, så står jeg imidlertid fast ved at du har rett, og at læreren tar feil. Det er jeg faktisk helt sikker på.

Hei igjen.

Ser at jeg nok var litt uklar i angivelsen av hva oppgaven var. Presisering:

Du SKAL trekke en kule fra hvert utvalg, én kule fra utvalg 1 og én kule fra utvalg 2.
Hva er sannsynligheten for at du da får to svarte kuler?


Håper at det ble litt klarere.

(3/6)*(2/4)=(6/24)=(1/4)=0,25=25%

toret wrote:Hei igjen.

Ser at jeg nok var litt uklar i angivelsen av hva oppgaven var. Presisering:

Du SKAL trekke en kule fra hvert utvalg, én kule fra utvalg 1 og én kule fra utvalg 2.
Hva er sannsynligheten for at du da får to svarte kuler?


Håper at det ble litt klarere.

Her er en oppgave som er sånn som vist, fra Faktor sine prøver:
Hva er sannsynligheten for å trekke to sorte kuler når du skal trekke én gang fra hver skål uten å se?
Utvalg 1: Bolle med 3 sorte og 9 gule + Utvalg 2: Bolle med 5 sorte og 5 hvite
Fasit: P = 1/4
3/12 * 5/10 = 15/120= 1/8 gange en gang til og summere blir fasiten. Hvorfor slik? Her er det ikke 0,5 hver gang og svaret blir ikke bare et gangestykke i følge Faktor 3 lærevæket. Jeg har mest tro på at svaret blir 1/8 om en ikke får eg god forklaring på dette.

toret wrote:Hei igjen.

Ser at jeg nok var litt uklar i angivelsen av hva oppgaven var. Presisering:

Du SKAL trekke en kule fra hvert utvalg, én kule fra utvalg 1 og én kule fra utvalg 2.
Hva er sannsynligheten for at du da får to svarte kuler?


Håper at det ble litt klarere.

Dette forsto jeg greit fra førstepost. Det eneste jeg lurte på, var egentlig om du hadde trikset med utvalget, f.eks. endret farge eller antall eller lignende, eller kanskje "blingset" litt dersom du oversatte en figur/illustrasjon til tekst.

Svaret på oppgaven er 0,25. Basta.

Lærer ungdomsskole wrote: Hva er sannsynligheten for å trekke to sorte kuler når du skal trekke én gang fra hver skål uten å se?
Utvalg 1: Bolle med 3 sorte og 9 gule + Utvalg 2: Bolle med 5 sorte og 5 hvite
Fasit: P = 1/4
3/12 * 5/10 = 15/120= 1/8 gange en gang til og summere blir fasiten. Hvorfor slik? Her er det ikke 0,5 hver gang og svaret blir ikke bare et gangestykke i følge Faktor 3 lærevæket. Jeg har mest tro på at svaret blir 1/8 om en ikke får eg god forklaring på dette.

Fasiten er feil. Sannsynligheten er 1/8.
Det gir overhodet ingen mening å gjøre det samme igjen og summere svarene. Det kan fint illustreres ved et eksempel:

I krukke A har du 4 svarte og 1 hvit kule. I krukke B har du også 4 svarte og 1 hvit kule. Trekk én kule fra hver krukke. Hva er sannsynligheten for å få to svarte kuler?

Det er selvsagt 0,8 * 0,8 = 0,64 ... Hvis du skal gange dette med to, så får du plutselig en sannsynlighet på 1,28. Det går selvsagt ikke. Nå er det overhodet ingen grunn til å skulle multiplisere dette med 2 da, så jeg blir helt gratinert i skolten av å i det hele tatt tenke tanken, men det er jo en fullstendig tilsvarende oppgave som de to oppgavene som allerede er nevnt.

Dersom du faktisk er en lærer på ungdomsskolen som bruker Faktor sine prøver, så kan du jo sende dem en e-post og informere dem om at fasiten er riv, ruskende gal. Eventuelt være ydmyk og be dem redegjøre for svaret, men når du er lærer synes jeg det er på sin plass å være sikker i sin sak når du henvender deg om en slik åpenbar feil.

Realist1 wrote:

Lærer ungdomsskole wrote: Hva er sannsynligheten for å trekke to sorte kuler når du skal trekke én gang fra hver skål uten å se?
Utvalg 1: Bolle med 3 sorte og 9 gule + Utvalg 2: Bolle med 5 sorte og 5 hvite
Fasit: P = 1/4
3/12 * 5/10 = 15/120= 1/8 gange en gang til og summere blir fasiten. Hvorfor slik? Her er det ikke 0,5 hver gang og svaret blir ikke bare et gangestykke i følge Faktor 3 lærevæket. Jeg har mest tro på at svaret blir 1/8 om en ikke får eg god forklaring på dette.

Fasiten er feil. Sannsynligheten er 1/8.
Det gir overhodet ingen mening å gjøre det samme igjen og summere svarene. Det kan fint illustreres ved et eksempel:

I krukke A har du 4 svarte og 1 hvit kule. I krukke B har du også 4 svarte og 1 hvit kule. Trekk én kule fra hver krukke. Hva er sannsynligheten for å få to svarte kuler?

Det er selvsagt 0,8 * 0,8 = 0,64 ... Hvis du skal gange dette med to, så får du plutselig en sannsynlighet på 1,28. Det går selvsagt ikke. Nå er det overhodet ingen grunn til å skulle multiplisere dette med 2 da, så jeg blir helt gratinert i skolten av å i det hele tatt tenke tanken, men det er jo en fullstendig tilsvarende oppgave som de to oppgavene som allerede er nevnt.

Dersom du faktisk er en lærer på ungdomsskolen som bruker Faktor sine prøver, så kan du jo sende dem en e-post og informere dem om at fasiten er riv, ruskende gal. Eventuelt være ydmyk og be dem redegjøre for svaret, men når du er lærer synes jeg det er på sin plass å være sikker i sin sak når du henvender deg om en slik åpenbar feil.

Det skal jeg gjøre. Kan du også svare på hvordan vi regner ut fra følgende utval:
bolle 1: 4 sorte og 6 røde kule og bolle 2: 7 sorte og 4 røde kuler.
P for først en sort kule og deretter en rød kule fremdeles uten å se. Fasiten til Faktor sier her: 12/55 Kanskje lurt å sjekke dette også.

Lærer ungdomsskole wrote: Det skal jeg gjøre. Kan du også svare på hvordan vi regner ut fra følgende utval:
bolle 1: 4 sorte og 6 røde kule og bolle 2: 7 sorte og 4 røde kuler.
P for først en sort kule og deretter en rød kule fremdeles uten å se. Fasiten til Faktor sier her: 12/55 Kanskje lurt å sjekke dette også.

Du skal altså trekke én kule fra bolle 1 og én kule fra bolle 2? Og nå lurer du på sannsynligheten for først å trekke en sort kule, og deretter trekke en rød kule? Da blir det nemlig litt plussing, og å se problemet "forlengs og baklengs".

Sannsynligheten for først sort, deretter rød, dersom man trekker fra bolle 1 først:

P = 4/10 * 4/11 = 16/110 = 8/55

Sannsynligheten for først sort, deretter rød, dersom man trekker fra bolle 2 først:

P = 7/11 * 6/10 = 42/110 = 21/55

Sannsynligheten for at man trekker fra bolle 1 først er 1/2. Det er også sannsynligheten for at man trekker fra bolle 2 først.
Sannsynligheten for å få først sort, og deretter rød, når man ikke vet hvilken bolle man trekker fra først, blir dermed:

P = 1/2 * 8/55 + 1/2 * 21/55 = 8/110 + 21/110 = 29/110 = 0,26363636....

Det er med andre ord 26,4 % sannsynlighet for å trekke først en svart og deretter en rød kule, når man ikke vet hvilken bolle man trekker fra først!

Jeg har også laget et MatLab-skript som kjører denne trekningen en million ganger, og den gav gunstig utfall 263 599 ganger. Det vil si 26,36 % av gangene. Fikk også en kompis til å simulere trekningen i Java, og han fikk nøyaktig det samme. Derfor er jeg helt fullstendig sikker på at svaret er 26,4 % -- gitt at jeg forsto oppgaven din riktig selvsagt!

Så hvis jeg tolket oppgaven din rett, så er altså Faktor helt på syre.

.

For moro skyld:
jeg endret skriptet til å kjøre en million trekninger på de andre oppgavene her også. Poster resultatet her:

toret wrote:Du har to utvalg. For enkelhets skyld så ser de slik ut:

Utvalg 1: Tre svarte kule, tre hvite kuler.
Utvalg 2: To svarte kuler, to hvite kuler.

Oppgaven lyder: Hva er sannsynligheten for at du trekker to svarte kuler, når du trekker en kule fra hvert utvalg?

Dersom man vet hvilken bolle man trekker fra først:

Vi har kjørt 1000000 trekninger.
Vi har truffet 249708 ganger.
Sannsynligheten er 25.0 prosent.

Dersom man IKKE vet hvilken bolle man trekker fra først:

Vi har kjørt 1000000 trekninger.
Vi har truffet 250097 ganger.
Sannsynligheten er 25.0 prosent.

Ingen overraskelse altså.

Lærer ungdomsskole wrote:Her er en oppgave som er sånn som vist, fra Faktor sine prøver:
Hva er sannsynligheten for å trekke to sorte kuler når du skal trekke én gang fra hver skål uten å se?
Utvalg 1: Bolle med 3 sorte og 9 gule + Utvalg 2: Bolle med 5 sorte og 5 hvite
Fasit: P = 1/4
3/12 * 5/10 = 15/120= 1/8 gange en gang til og summere blir fasiten. Hvorfor slik? Her er det ikke 0,5 hver gang og svaret blir ikke bare et gangestykke i følge Faktor 3 lærevæket. Jeg har mest tro på at svaret blir 1/8 om en ikke får eg god forklaring på dette.

Dersom man vet hvilken bolle man trekker fra først:

Vi har kjørt 1000000 trekninger.
Vi har truffet 124576 ganger.
Sannsynligheten er 12.5 prosent.

Dersom man IKKE vet hvilken bolle man trekker fra først:

Vi har kjørt 1000000 trekninger.
Vi har truffet 125480 ganger.
Sannsynligheten er 12.5 prosent.


Her har altså Faktor blundret på flere oppgaver. Når det skjer flere slike feil, så er det nesten vanskelig å tro at det er tilfeldig. Godt mulig de som utarbeider fasit/løsningsforslag for Faktor rett og slett ikke har god nok greie på sannsynlighet, noe som jo er relativt kritisk når man har en slik jobb. Det burde uansett undersøkes. Fint om du sender dem en mail!

Ser også av disse simuleringene at ungdomsskolelæreren i førstepost også tar feil, så toret kan slappe av, vel vitende om at han har rett.

(Også godt for meg å få bekreftet at jeg ikke er helt på jordet i ungdomsskolesannsynlighet! )

Takk til både Lærer ungdomsskole, og Realist1 med kompis.

Nå skal det sies at det ikke var læreren til min datter som mente at dette var rett, han også mente at læreverket tok feil i denne oppgaven. Det var jeg som ikke var klar nok på det punktet.
Så får vi håpe at Faktor slutter å innta syre under arbeidet med læreverk.

Det går fint an å tenke som de gjør i den "forkastede" løsningen.

Det som skjer da er at du har tatt inn et ekstra valg i prosedyren, nemlig hvor du skal trekke den første kula. Siden det er tilfeldig hvem du starter med er sannsynligheten for å starte med den ene lik 0,5. Resultatet er at summen av de to sannsynlighetene må multipliseres med en halv, dvs. svaret blir det samme som flere her har forklart.

Sannsynlighet er ikke så lett hvis man gjør det for komplisert.