Forenkling av komplekst uttrykk (algebratriksing)
Posted: 01/12-2014 16:24
Jeg har to uttrykk for en kompleks impedans Zi:
[tex]Z_i = \frac{R_0^2}{R_L + jX_L} = \frac{R_0^2 R_L}{R_L^2 + X_L^2} -j\frac{R_0^2 X_L}{R_L^2 + X_L^2}\\ \\ Z_i = \frac{R_i jX_i}{R_i + jX_i} = \frac{R_i X_i^2}{R_i^2 + X_i^2} + j\frac{R_i^2 X_i}{R_i^2 + X_i^2}[/tex]
Uttrykkene er ekvivalente, dvs. kan settes til å være lik hverandre. Dermed er det vel også underforstått at de to realdelene kan settes til å være lik hverandre, og de to imaginærdelene skal være lik hverandre. [tex]R_0,\,R_L,\,X_L[/tex] er kjente størrelser, mens [tex]R_i,\,X_i[/tex] er ukjente. Oppgaven går ut på å finne uttrykk for [tex]R_i[/tex] og [tex]X_i[/tex] uttrykt ved [tex]R_0,\,R_L,\,X_L[/tex].
Svaret skal bli så enkelt som
[tex]R_i = \frac{R_0^2}{R_L}\\ X_i = -\frac{R_0^2}{X_L}[/tex]
men jeg klarer ikke å få til utledningen som ender opp med noe så enkelt. (svaret er fra LF, ikke gitt i oppgaven)
[tex]Z_i = \frac{R_0^2}{R_L + jX_L} = \frac{R_0^2 R_L}{R_L^2 + X_L^2} -j\frac{R_0^2 X_L}{R_L^2 + X_L^2}\\ \\ Z_i = \frac{R_i jX_i}{R_i + jX_i} = \frac{R_i X_i^2}{R_i^2 + X_i^2} + j\frac{R_i^2 X_i}{R_i^2 + X_i^2}[/tex]
Uttrykkene er ekvivalente, dvs. kan settes til å være lik hverandre. Dermed er det vel også underforstått at de to realdelene kan settes til å være lik hverandre, og de to imaginærdelene skal være lik hverandre. [tex]R_0,\,R_L,\,X_L[/tex] er kjente størrelser, mens [tex]R_i,\,X_i[/tex] er ukjente. Oppgaven går ut på å finne uttrykk for [tex]R_i[/tex] og [tex]X_i[/tex] uttrykt ved [tex]R_0,\,R_L,\,X_L[/tex].
Svaret skal bli så enkelt som
[tex]R_i = \frac{R_0^2}{R_L}\\ X_i = -\frac{R_0^2}{X_L}[/tex]
men jeg klarer ikke å få til utledningen som ender opp med noe så enkelt. (svaret er fra LF, ikke gitt i oppgaven)