matematikk.net

Jeg skal vise uten induksjonsbevis at n[sup]3[/sup]-n er delelig med 3.

Synes det er vanskelig å vite hva som regnes som å vise, er det nok å sette inn ulike verdier for n?

Wilja

Hei!
Nei, det er ikke nok å bare sette inn, du må vise at det gjelder generelt.
Induksjonsbevis består av to deler, et grunnlag og et induksjonstrinn, la oss se:
Vi ser at uttrykket må ha en n som er større eller lik 2 for å gi mening.
Vi setter inn n=2 og får
8-2 = 6
6 er delelig med 3 så grunnlaget er i orden. Nå må vi vise at det gjelder for alle n større enn 2 også, altså induksjonstrinnet som av og til kan være noe vannskeligere.
1: (k[sup]3[/sup]-k):3 er element i N og 2: ((k+1)[sup]3[/sup]-(k+1)):3 er element i N

Ideen er at når vi viser at det er riktig for k og k+1 får vi en uendelig rekke med implikasjoner som gir gyldihet for k+2, k+3 osv
(jeg er nok ikke helt formell her)
Vi får fra 1:

(k[sup]3[/sup]-k) =3t
og fra 2:
((k+1)[sup]3[/sup]-(k+1))= (k[sup]3[/sup]-k) +3(k[sup]2[/sup]+k) som innsatt fra 1gir
3( t + k[sup]2[/sup]+k) Som viser at uttrykket er delelig med 3.

Håper jeg greide formiddle noe av tankerekken her og at det ikke er noen regnefeil!
MVH
Kenneth Marthinsen

Du uttrykte deg greit, men oppgaven min poengterer at jeg ikke skal bruke induksjonsbevis...

Wilja

Uff!!
Ja, det ser jeg nå... Må tenke litt men kommer tilbake når jeg får tid om jeg har noe fornuftig å melde.

MVH
Kenneth

Hei igjen!

Desom et tall er delelig på tre må det bestå av en faktor som er delelig på tre.
Uttrykket n[sup]3[/sup]-n =n (n-1)( n+1)

betår som man ser av tre faktorer. En av disse vil som man ser være delelig på 3 dersom n er element i N, altså er n[sup]3[/sup] - n altid delelig på 3.

MVH
Kenneth Marthinsen