Beviset jeg presenterer er antageligvis det samme som i boken din. Forhåpentligvis kan det hjelpe litt allikevel!
Vi ønsker å vise at hvis $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ og $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ så er $\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB$.
Som du skriver må vi vise at for alle $\epsilon>0$ kan vi finne en $N$ slik at når $n\geq N$ så er $|a_nb_n-AB|<\epsilon$.
Vi observerer først at ved trekantulikheten så er
$|a_nb_n-AB|=|(a_nb_n-Ab_n)+(Ab_n-AB)|\leq |a_nb_n-Ab_n|+|Ab_n-AB|=|b_n||a_n-A|+|A||b_n-B|$
Videre ønsker vi å vise at hvis en $\epsilon>0$ er gitt så kan vi få hvert av leddene i den siste summen mindre enn $\frac{\epsilon}2$
ved å velge en tilstrekkelig stor $N$. Altså vi ønsker å finne $N$ slik at både$|b_n||a_n-A|<\frac{\epsilon}2$ og
$|A||b_n-B|<\frac{\epsilon}2$ fordi da vil summen være mindre enn $\epsilon$ som er nettopp det vi ønsker.
Vi ser først på det andre leddet. Siden $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ kan vi finne $N_1$ slik at når $n\geq N_1$ så er
$|b_n-B|<\frac{\epsilon}{2|A|}$. Dermed har vi at $|A||b_n-B|<|A|\frac{\epsilon}{2|A|}=\frac{\epsilon}2$ akkurat som ønsket.
For det første leddet, $|b_n||a_n-A|$, kan vi
ikke umiddelbart velge $N_2$ slik at $|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2|b_n|}$
siden $b_n$ varierer med $n$. Derfor er vi nødt til å først finne en begrensning på $b_n$. Vi vet at for alle $\epsilon>0$
kan vi finne en $N$ slik at $|b_n-B|<\epsilon$. Spesielt for $\epsilon=1$ kan vi finne en $N_2$ slik at for $n\geq N$
så er $1=\epsilon>|b_n-B|$ og videre har vi da at $|b_n|=|(b_n-B)+B|\leq|b_n-B|+|B|<1+|B|$.
Det vil si at $|b_n||a_n-A|<(1+|B|)|a_n-A|$ og hvis vi så velger en $N_3$ slik at for $n\geq N_3$ så er
$|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2(1+|B|)}$ så vil vi ha at for den største av $N_2$ og $N_3$ så vil
$|b_n||a_n-A|<(1+|B|)|a_n-A|<(1+|B|)\frac{\epsilon}{2(1+|B|)}=\frac{\epsilon}2$.
Hvis vi nå til slutt lar $N=max\{ N_1,N_2,N_3\}$ (vi lar $N$ være lik den største av de tre $N$ verdiene),
så vil begge leddene våre være mindre enn $\frac{\epsilon}2$. Altså
$|a_nb_n-AB|\leq |b_n||a_n-A|+|A||b_n-B|<\frac{\epsilon}2+\frac{\epsilon}2=\epsilon$ for alle $n\geq N$
og vi er dermed ferdige!
Si ifra hvis noe er uklart.
