matematikk.net

lf:

Hvordan beviser man dette? skjønner ikke løsningsforslaget.
hadde det bare vært n på toppen og j =1 hadde jeg greid den men skjønner ikke helt fremgangsmåten her.

Tanken er vel at du har

$ \hspace{1cm}
\sum_{k=1}^{n+3} a_k = a_{n+1} + a_{n+1} + a_{n+3} + \sum_{k=1}^{n} a_n
$

Eksplisitt har vi

$ \hspace{1cm}
S_{k+1} = \sum_{j}^{2(k+1)-1} a_j = \sum_{j}^{(2k-1)+2} a_j = a_{2k+1} + a_{2k} + \sum_{j}^{2k-1} a_j
$

Hvor $a_j = 2j + 1$. Altså du splitter ut de siste leddene og bruker induksjonshypotesen om at

$
\sum_{k=1}^{n-1} 2k + 1 = 3n^2
$

)Kan ikke si jeg skjønte det helt. Hvordan kommer man fram i LF til -(2k+1) +(4k+1)+(4k+3) ?

$
\begin{align*}
S_{k+1}
& = \sum_{j = k + 1}^{2(k+1)-1} a_j
= -a_k + \sum_{j = k}^{(2k-1)+2} a_j \\
& = - a_k + a_{2k+1} + a_{2k} + \sum_{j = k}^{2k-1} a_j \\
& = - (2k+1) + \bigl[ 2(2k+1) + 1 \bigr] + \bigl[ 2(2k) + 1 \bigr] + 3k^2 \\
& = - (2k+1) + (4k+3) + (4k+1) + 3k^2 \\
& = 3(k+1)^2 \\
\end{align*}
$

$a_j = 2j + 1$