matematikk.net

Finnes det en funksjon som dividerer et uttrykk på uttrykkets enhet? (Hvis det er på formen [tex]\text{tall}\cdot \text{enhet}[/tex], der tall er et element i R og enhet kan være et produkt av flere enheter opphøyd i et heltall.)

F.eks., når man skriver at

pH = -log_10[H3O+] (1)

er dette feil hvis man ikke tar for gitt at man definerer logaritmen til en enhet som 1. Men det er ikke logisk at logaritmen til en enhet skal være 1, og burde man ikke derfor skrive f.eks.

pH = -log_10([H3O+]/(mol/L)) eller, enda mer generelt, innføre en funksjon E som deler på enheten som er gitt. Hvis dette ikke blir formelt nok, kan man bruke funksjon E som, gitt et uttrkk på formen a*(størrelse ikke i Rn) inntil man finner et uttrykk med en størrelse som hverken er et tall i[tex]\mathbb{R}^{n}[/tex] eller en enhet som likevel inngår i en logaritme. Da kan man definere en funksjon som i et slikt tilfelle er egnet.

Altså, i mitt eksempel:

pH = -log_10(E([H3O+]))

Her ser dere en referanse for identiteten jeg har brukt.

Oppdatert 23.04.14: erstattet H+ med H3O+, lagt til lenke.

Beklager inkonsekvent notasjon; jeg er ikke så stødig i å kombinere tekst og TEX. Har formulert meg noe klarere her.

Her er min måte å tilfredsstille meg selv på hva angår denne teknikaliteten.

A.
pH=-log_10(E[H+]) der E(et tall*en enhet) er slik at E((t=tall)*(enhet=_def multiplum av enheter=_def (enhet 1 eller (enhet 1)^-1)*(enhet 2 eller (enhet 2)^-1)*...*(enhet n eller (enhet n)^-1)))=t).

Motivasjon
Min lærebok i Kjemi 1, Kjemien stemmer, lot ikke [H+] (konsentrasjonen av H+-ioner i mol/L) være argument i en funksjon som fjerner enheten, her mol/L.

Prinsipielt skulle det ikke være nødvendig å finne en måte å uttrykke funksjonen E's virkemåte med det begrensede matematiske uttrykksrepertoar, men heller f.eks. på følgende måte: "E er en funksjon som alltid fjerner enheten til funksjonens argument."
(A. slutt)

Du har helt rett i at denne E-funksjonen godt kan defineres med ord på en slik måte du har gjort. I samme slengen bør man også ha en presis definisjon av hva en enhet er og hva et tall med enhet skal være. Dette kan du lese mer om her!

Jeg har tenkt på det samme ang. pH-formelen, men avfeid det som "typisk kjemikere". Fyiksere/kjemikere bryr seg ikke alltid så voldsomt om å være veldig formelle og pedantiske rent matematisk, og i alle fall ikke når det gjelder matematisk notasjon. Når det er sagt prøver man som regel alltid å sørge for at enheter stemmer, og at formler ikke ender opp med at det tas logaritmen av noe som har enheter. Jeg har ikke sett noen annen formel enn akkurat pH-formelen hvor det er tilfellet. Av den grunn er det kanskje litt omstendig å definere en funksjon for å gjøre jobben når man egentlig bare kunne endret formelen til at man også deler på 1 mol/L i argumentet til logaritmefunksjonen.