matematikk.net

La [tex]a,b,c[/tex] være reelle tall og anta at [tex]a+b+c=1[/tex]

1) Vis at [tex]a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2+3abc[/tex]

2) Vis at [tex]\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}=\sqrt{\frac{3ab+2c}{3c}+\frac{3bc+2a}{3a}+\frac{3ca+2b}{3b}}[/tex]

Gjør et forsøk på 1), men tviler på at der er formelt korrekt

Likningen er ekvivalent med

[tex]a^3+b^3+c^3-3ab=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca[/tex]

Ettersom [tex]a+b+c=1[/tex], kan jeg gange med [tex]a+b+c[/tex] på høyresiden i likningen over uten at den endrer verdi. Altså

[tex]a^3+b^3+c^3-3ab=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)[/tex]

Jeg multipliserer ut høyresiden og får

[tex]a^3+b^3+c^3-3ab=(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+b^2a+b^2c)+(c^3+c^2a+c^2b)-(a^2b+b^2a+abc)-(abc+b^2c+c^2b)-(a^2c+abc+c^2a)[/tex]

Stokker om og trekker sammen høyresiden, samt legger til [tex]3abc[/tex] på begge sider av likhetstegnet, så får jeg

[tex]a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+c^3[/tex]

Så vidt jeg kan se er det ekvivalens mellom alle trinn, slik at bevise kan snus.

Er dette et gyldig bevis?

Du viser at ligningen er ekvivalent med noe som åpenbart er sant ([tex]x=x[/tex]), som er gyldig. Men det er å foretrekke
å føre det på en litt annen måte. Merk at etter å ha snudd om på ligningen arbeider du bare med høyresiden av ligningen, som vil si at du
kunne ført det på følgende vis:

[tex]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=\cdots =a^3+b^3+c^3-3abc[/tex]

Denne føringen vil jeg si er mer oversiktlig og penere. Det å starte med ligningen og prøve å redusere den til noe som er mer håndterlig,
er en god måte å komme frem til løsningen. Når man har oppnådd en tilstrekkelig forståelse burde selve beviset føres på en ryddig og
enkel måte.

Merk at du også har bevist identiteten [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)[/tex], som gjelder uten antagelsen
[tex]a+b+c=1[/tex]. Den er er god å kjenne til.

En alternativ løsningsmetode er som følger.

Vi observerer først at [tex](a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c)[/tex]

[tex](a+b)(b+c)(c+a)=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)+2abc=a^2+b^2+c^2-(a^3+b^3+c^3)+2abc[/tex].

[tex](1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+ab+bc+ac-abc=ab+bc+ac-abc[/tex]

Dermed har vi at
[tex]a^2+b^2+c^2-(a^3+b^3+c^3)+2abc=ab+bc+ac-abc \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc=a^3+b^3+c^3+ab+bc+ac[/tex]

2) $a+b+c=1$ så

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+2(a+b+c)=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+2$, som er ekvivalent med

$(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}})^2=(\sqrt{\frac{3ab+2c}{3c}+\frac{3bc+2a}{3a}+\frac{3ca+2b}{3b}})^2$

Siden $\sqrt{\cdot}$ er definert som den positive rota, er dette det samme som at

$\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}=\sqrt{\frac{3ab+2c}{3c}+\frac{3bc+2a}{3a}+\frac{3ca+2b}{3b}}$

EDIT: rettelse

Ser selvfølgelig bra ut! Enkle oppgaver for de som er drevne i grunnleggende algebra.