matematikk.net

Jeg har denne oppgaven jeg prøver og besvare :

Først bruker jeg "Einstein Velocity Addition"

Som gir meg dette:
[tex]u=\frac{u'+u''}{1+\frac{u'u''}{c^2}}=\frac{0.9c+0.7c}{1+\frac{0.9c*0.7c}{c^2}}=0.9815c[/tex], dette mener jeg på stemmer med det jeg så av forrelesers notater.

Men så prøver jeg og løse problmet ved og bruke lorentz transf direkte hvor, x svarer til jorden, x' til romskipet og x'' til roben/raketen.

[tex]x=\gamma'(x'+u't'),\quad x'=\gamma''(x'+u''t'')[/tex]
[tex]t=\gamma'(t'+\frac{u'x'}{c^2}),\quad t'=\gamma''(t''+\frac{u''x''}{c^2})[/tex]

Setter nå inn for x' inni x, også t' inni t:

[tex]x=\gamma'\gamma''x''+\gamma'\gamma''u''t''+\gamma'u't'[/tex]
[tex]t=\gamma'\gamma''t''+\gamma'\gamma''\frac{u''x''}{c^2}+\gamma'\frac{u'x'}{c^2}[/tex]

Diffrenseier:
[tex]dx=\gamma'\gamma''dx''+\gamma'\gamma''u''dt''+\gamma'u'dt'[/tex]
[tex]dt=\gamma'\gamma''dt''+\gamma'\gamma''\frac{u''dx''}{c^2}+\gamma'\frac{u'dx'}{c^2}[/tex]

Finner farten som forholde mellom dx og dt

[tex]u=\frac{dx}{dt}=\frac{\gamma'\gamma''dx''+\gamma'\gamma''u''dt''+\gamma'u'dt'}{\gamma'\gamma''dt''+\gamma'\gamma''\frac{u''dx''}{c^2}+\gamma'\frac{u'dx'}{c^2}}*\frac{\frac{1}{\gamma' dt''}}{\frac{1}{\gamma' dt''}}=\frac{2\gamma''u''+u'\frac{dt'}{dt''}}{\gamma''(1+\frac{u''^2}{c^2})+\frac{u'^2}{c^2}\cdot\frac{dx'}{dt''}}[/tex]

Ser nå på ledde som enda uttrykket som differensialer (dt'/dt'' og dx'/dt'')
[tex]\frac{dt'}{dt''}=\frac{\gamma''(dt''+\frac{u''}{c^2}dx'')}{dt''}=\gamma''(1+\frac{u''^2}{c^2}),\quad u''=\frac{dx''}{dt''}[/tex]
[tex]\frac{dx'}{dt''}=\frac{\gamma''(dx''+u''dt'')}{dt''}=2\gamma''u''[/tex]

Innsatt inni "hoveduttrykket" gir dette:
[tex]u=\frac{2\gamma''u''+\gamma''u'(1+\frac{u''^2}{c^2})}{\gamma''(1+\frac{u''^2}{c^2})+2\frac{u'u''}{c^2}\gamma''}=\frac{2''u''+u'(1+\frac{u''^2}{c^2})}{(1+\frac{u''^2}{c^2})+2\frac{u'u''}{c^2}}=\frac{2''u''+u'(1+\frac{u''^2}{c^2})}{(1+\frac{u''^2}{c^2})+2\frac{u'u''}{c^2}}[/tex]

Som ikke er det samme som jeg fant i starten, men det ser ut til ha rettbenenving, setter som ista u'=0.9c og u''=0.7c, dette gir :
[tex]u=\frac{2*0.7c+0.9c(1+\frac{(0.7c)^2}{^2})}{1+\frac{0.7c}{c^2}(0.7c+2*0.9c)}=\frac{2.741c}{2.75}=0.9967c[/tex]

Det jeg lurer på hvor det jeg gjør feil / tenker feil?

Virker som du blander inn et ekstra koordinatsystem for mye. Vi trenger kun å betrakte to inertialsystem, ett for jorda og ett for romskipet. Følgende er en enkel utledning:

La S være koordinatsystemet til jorda, og S' koordinatsystemet som er i ro i forhold til romskipet. v er hastigheten til romskipet relativt jorda.
Da er $x$ koordinatet til sonden sett fra jorda, mens x' er koordinatet til sonden relativt romskipet. Lorentztransformasjonene gir da sammenhengene

$x=\gamma(x'+vt')$
$t=\gamma(t'+\frac{vx'}{c^2})$

Vi vet at $v=0.9c$ og $v'=\frac{dx'}{dt'}=0.7c$, og vi ønsker å finne $\frac{dx}{dt}$.

Differensierer og får

$dx=\gamma (dx'+vdt')$ og

$dt=\gamma (dt'+\frac{vdx'}{c^2})$, som gir

$\frac{dx}{dt}=\frac{\gamma (dx'+vdt')}{\gamma (dt'+\frac{vdx'}{c^2})}$. Deler over og under med $dt'$ og får

$\frac{dx}{dt}=\frac{ v'+v}{1 +\frac{vv'}{c^2}}$, som er det samme som formelen du henviste til.

Jeg føler jeg forstår, men det vel ikke noe som tilsier at en ikke skal kunne legge et kordinatsystem i "proben" også?

EDIT:

Gir dette mening ?

Det stemme at for et kordinatsystem som ligger sammen med problen så blir [tex]t'=t'' \quad \& \quad x'=x''[/tex] fordi systemene har somme tid og fart og derfor det blir "overkill" med mitt extra kodinatsystem?

Mulig feilen ligger i måten du tolker symbolene på. Husk at x angir posisjonen til sonden relativt jorda, x' angir posisjonen til sonden relativt romskipet.

Hvorfor blander du inn x'' ? Hvis dette refererer til sondens posisjon i forhold til et tredje koordinatsystem som er i ro i forhold til sonden selv, så vil jo x'' være konstant lik 0. Differensierer du da x'' får du jo bare 0.

Jeg tenker at [tex]x=\gamma'(x'+u't')[/tex] gir meg lorentz transformation til posisjon x' (romskipet) slik den ville sett ut for en observertør på jorden og [tex]x'=\gamma''(x''+u''t'')[/tex] posisjon til proben sett fra romskipet.

gabel wrote:Jeg tenker at [tex]x=\gamma'(x'+u't')[/tex] gir meg lorentz transformation til posisjon x' (romskipet) slik den ville sett ut for en observertør på jorden og [tex]x'=\gamma''(x''+u''t'')[/tex] posisjon til proben sett fra romskipet.

Ok, da forstår jeg hvorfor du er forvirret. Tror du har feiltolket betydningen av x og x'. Begge koordinatene angir posisjonen til ett og samme objekt(f.eks. proben), bare sett fra to ulike koordinatsystem som beveger seg med konstant hastighet i forhold til hverandre.

Det er ikke slik at x' er posisjonen til romskipet, mens x'' er posisjonen til proben.