Funksjonalligning

[Gustav]

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $f(x^2)-f(y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$ for alle x,y.

[Brahmagupta]

[tex]y\rightarrow 0[/tex] og [tex]x\rightarrow\pm x[/tex] gir
i) [tex]f(x^2)-f(0)=xf(x)-xf(0)\Rightarrow f(x^2)-xf(x)=f(0)(1-x)[/tex]
ii) [tex]f(x^2)+xf(-x)=f(0)(1+x)[/tex]

Trekker i) fra ii)
[tex]x(f(x)+f(-x))=2xf(0)[/tex]

Antar vi at [tex]x\neq0[/tex] får vi
1) [tex]f(x)+f(-x)=2f(0)[/tex]

[tex]y\rightarrow1[/tex] gir
[tex]f(x^2)-f(1)=(x+1)(f(x)-f(1))[/tex]

og [tex]y\rightarrow -1[/tex] gir
[tex]f(x^2)-f(1)=(x-1)(f(x)-f(-1))[/tex]

og dermed [tex](x+1)(f(x)-f(1))=(x-1)(f(x)-f(-1))[/tex] som etter litt forenkling er ekvivalent med

2) [tex]f(x)=\frac{f(1)-f(-1))}2x+\frac{f(1)+f(-1)}2[/tex]

Lar vi [tex]x=1[/tex] i 1) får vi at [tex]\frac{f(1)+f(-1)}2=f(0)[/tex] og [tex]\frac{f(1)-f(-1)}2=f(1)-f(0)[/tex].
Innsatt i 2) får vi dermed

[tex]f(x)=(f(1)-f(0))x+f(0)=ax+b[/tex]
Altså alle lineære funksjoner og det er greit å se at disse oppfyller den opprinnelige ligningen.