Page 1 of 1
Enda en grei funksjonalligning
Posted: 21/03-2014 21:43
by Brahmagupta
Funksjonen [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] oppfyller [tex]f(f(x))=f(x)+x[/tex] for alle [tex]x[/tex] i domenet.
Finn alle løsninger av ligningen [tex]f(f(x))=0[/tex]
Re: Enda en grei funksjonalligning
Posted: 23/03-2014 19:45
by Gustav
Brahmagupta wrote:Funksjonen [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] oppfyller [tex]f(f(x))=f(x)+x[/tex] for alle [tex]x[/tex] i domenet.
Finn alle løsninger av ligningen [tex]f(f(x))=0[/tex]
La x-> f(x). Da er $=f(f(f(x)))=f(f(x))+f(x)=2f(x)+x$
La $x^*$ være en løsning av ligningen. Da er $f(f(x^*))=0$. Setter inn for $x^*$ i funksjonalligningene, og får at
$f(f(x^*))=0=f(x^*)+x^*$ og
$f(f(f(x^*)))=f(0)=2f(x^*)+x^*$.
Altså er $2f(x^*)=-2x^*$, og $x^*=-f(0)$
La x=0 i begge ligningene. Da er
$f(f(0))=f(0)$ og
$f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)=2f(0)$, så $f(0)=0$.
Altså er eneste løsning på ligningen at $x^*=-f(0)=0$
Re: Enda en grei funksjonalligning
Posted: 23/03-2014 21:28
by Brahmagupta
Eventuelt: [tex]f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x))=f(f(y))\Rightarrow f(x)+x=f(y)+y \Rightarrow x=y[/tex]
Dermed er [tex]f[/tex] injektiv. [tex]f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(0))=0[/tex]
og fra injektiviteten følger det at denne løsningen er unik.