matematikk.net

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at

i) $f(2x)=f(x+y)f(y-x)+f(x-y)f(-x-y)$ for alle $x,y$,

og

ii) $f(x)\geq 0$ for alle $x$.

[tex]x=y=0[/tex] gir [tex]f(0)=2f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=\frac12[/tex]

Setter [tex]x=y[/tex]
[tex]f(2x)=f(0)(f(2x)+f(-2x))[/tex]
[tex]f(0)=0[/tex] gir løsningen [tex]f(x)=0[/tex], mens [tex]f(0)=\frac12[/tex] gir [tex]f(2x)=f(-2x)\Rightarrow f(x)=f(-x)[/tex]

Vi bruker dette i den opprinnelige ligningen og får
[tex]f(2x)=2f(x+y)f(x-y)[/tex]

La nå [tex]x=0[/tex]
[tex]f(0)=2f(y)f(-y)=2f(y)^2 \Rightarrow f(y)=\frac12[/tex] siden [tex]f(y)\geq 0[/tex]

Vi har altså løsningene [tex]f(x)=0[/tex] og [tex]f(x)=\frac12[/tex]

Edit: Liten slurvefeil.

Selvsagt riktig!