matematikk.net

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $f(x+f(y))=x+f(f(y))$ for alle reelle $x,y$, og $f(2004)=2005$.

[tex]x \rightarrow -f(y)[/tex]
[tex]f(0)=f(f(y))-f(y)[/tex]

[tex]x\rightarrow x-f(y)[/tex]
[tex]f(x)=x+f(f(y))-f(y)=x+f(0)[/tex]

[tex]f(2004)=2004+f(0)=2005 \Rightarrow f(0)=1[/tex]

Dermed er den eneste løsningen [tex]f(x)=x+1[/tex]

Flott

En grei oppfølger:
Finn all funksjoner [tex]f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}[/tex] slik at [tex]f(f(x))=x+1[/tex].

La $x\to f(x)$ først, slik at $f(x+1)=f(x)+1$, og sett f(0)=k ($\Rightarrow f(f(0))=f(k)=1$). Induksjon gir da at f(n)=k+n og f(k+n)=1+n for alle ikkenegative n.

Anta at k er ikkenegativ. Sett n=k . Da er f(k)=2k=1, som er umulig siden k må være heltall.

Anta k negativ. Sett n=-k, da er f(0)=1-k=k, så 2k=1, som er umulig.

Altså ingen løsning.

Edit: