matematikk.net

Det er gitt en halvsirkel med Radius r. Et rektangel innskrives i halvsirkelen slik en figur viser.
Kall rektangelts høyde x, og finn rektanglets areal uttrykk ved R og x. For hvilken verdi av x har rektanglet størst Areal http://imgur.com/XZiu6li (bilde av oppgaven)

Håper noen kan hjlpe meg i gang med denne oppgaven

På figuren du henviser til kan du bruke Pytagoras til å finne den siste siden i trekanten (med de to gitte sidene [tex]x[/tex] (høyden) og [tex]R[/tex]). Hvor lang er denne siste siden i forhold til hele rektangelets bredde? Ser du nå hva du skal gjøre for å finne arealet?

Ta er vel den ukjente siden, halve lengeden av rektangelet ??
men hvvilken verdi av x har rektanglet størst areal, må jeg derivere da eller ?

Arealet av rektanglet blir vell da: X * (Y * 2)

Den tredje siden, [tex]s[/tex], av trekanten blir [tex]s=\sqrt{R^2-x^2}[/tex]. Som du sier, er dette halve bredden av rektangelet. Følgelig blir arealet av rektangelet [tex]A(x)=x \cdot (2 \cdot \sqrt{R^2-x^2})[/tex]. [tex]R[/tex] er radien i sirkelen, og er konstant uansett hvordan du tegner det innskrevne rektangelet.

For å finne når arealet er størst, må du derivere med hensyn på [tex]x[/tex] og sette den deriverte lik null. Hvis du løser denne likningen for [tex]x[/tex], vil du få [tex]x=\pm\frac{R}{\sqrt{2}}[/tex]. En lengde må være positiv, så du står igjen med én løsning. Med denne verdiene av [tex]x[/tex], er arealet på sitt største.

PS: Når du skal derivere en kvadratrot, sett diskriminanten (det under rottegnet) opphøyd i en halv. Deretter bruker du produktregelen for derivasjon: [tex]\left [ xy \right ]'=x'y+xy'[/tex]. Tenk på [tex]R[/tex] som et vanlig tall. Da er f.eks. [tex]R'=0[/tex].

Lykke til!