matematikk.net

Vis at følgende ulikhet holder $$
\log 2 < (1/2)^{1/2}
$$
En mulig oppfølger er å vise at $\log 2 > (2/5)^{2/5}$ men den er langt i fra like artig å vise.

La $f(x)=x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}-2$. Da er $f'(x)>0$ for x>0, så funksjonen er voksende på dette intervallet.

$4^{\frac{1}{\sqrt{2}}}>4^{\frac12}=2$ så $f(4)>0$. Siden f er voksende er $f(10)\geq f(4)>0$, altså er $10^{\sqrt{\frac{1}{2}}}-2>0$, som fører til at $\log(2)<\sqrt{\frac12}$

Pen løsning. Finnes massevis av måter å vise denne på. Eksempelvis

Siden

$
(1+\sqrt{2})^2(t+1)-(t+1+\sqrt{2})^2=t(1-t)>0 \ \ \forall \, t \in (0,1)
$

Så er

$
\ln{2}=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t+1}dt<\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{t+1+\sqrt{2}}\right)^2dt = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
$