matematikk.net

(Håper denne ikke er blitt gitt før)

Vis ved bruk av induksjon at $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<2$ for alle positive heltall $n$.

Anta at [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n}[/tex] for et eller annet heltall n.

Da er [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} = 2-\frac{1}{n+1}[/tex]

I tillegg er [tex]1 + \frac{1}{2^2} < 2 - \frac{1}{2}[/tex]

Så da har vi ved induksjon at [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n} < 2[/tex] for alle n > 1.

For n=1 har vi at:

1 < 2

Så da gjelder ulikheten for alle positive heltall n.

Ser riktig ut, selvsagt.