matematikk.net

1) Vis at det finnes et naturlig tall som er delelig med 1996 og har tverrsum 1996. (Hvilket år kan denne oppgaven være fra...)

2) Finn alle reelle tall [tex]x[/tex] slik at

[tex]x^n+x^{-n}[/tex]

er et helt tall for alle hele tall [tex]n[/tex].

Oppgave 2)

La $ a_n = x^n + x^{-n} $. Merk at $ a_n = a_{-n} $, så det er tilstrekkelig å bare se på $ n \geq 0 $. Vi ser også at $ x = 0 $ ikke kan være en løsning, siden $ 0^{-n} $ ikke er definert for $ n \geq 0 $.

Observer at

$ a_n = x^n + x^{-n} = (x + x^{-1})(x^{n-1} + x^{-(n-1)}) - (x^{n-2} + x^{-(n-2)}) = a_1 a_{n-1} + a_{n-2} $

Av denne rekursive sammenhengen ser vi at hvis $ a_1 $ er et heltall, så er $ a_n $ også heltall for alle $ n $, siden $ a_0 = 2 $. Altså er det tilstrekkelig å se på heltallsløsninger av $ a_1 $.

Ligningen $ a_1 = k $ er ekvivalent med

$ x^2 - kx + 1 = 0 $

som er tilfellet hvis og bare hvis

$ x = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} $

Så løsningen er alle $ x $ på denne formen hvor $ k $ er et heltall slik at $ k \geq 2 $ eller $ k \leq -2 $. Disse betingelsene for $ k $ kommer av at $ x $ må være et reelt tall.

Akkurat sånn jeg også løste den.

1)

Legger merke til at 1996 har tverrsum 25 og at 1996*2 har tverrsum 23.

Løser den diofantiske ligningen 25x+23y=1996 og får en positiv løsning med x=9 og y=77.

Det er nå klart at vi kan konstruere tallet 100010001...0001000200020002.....0002*1996

med 9 1-ere og 77 2-ere som vil ha tverrsum 1996, og som vil være delelig med 1996

Ser bra ut! Slik jeg også løste den.