matematikk.net

En liten oppgave igjen.

Vi vet at brøken 17/3 er en delvis tilnærming av kvadratroten av 32. Det er uendelig mange brøker vi kan stille, slik at tilnærmingen blir mer og mer lik kvadratroten av 32. Hvordan øker vi brøken med antall siffer i både teller og nevner, slik at tilnærmingen blir mer og mer identisk med kvadratroten av 32?

Legg merke til at $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$. Roten av to kan tilnærmes
ved en rekke metoder. Her velger jeg newton, men metoden er og
kjent fra babylonerene. Jeg lar $x0 = 1$ og
$$
x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}
$$
Slik at hver iterasjon giren bedre tilnærmelse til roten av to.
Dermed så er
$$
\sqrt{32} \approx 4 \cdot x_N
$$
De første iterasjonene (begynner med $x_1,x_2$ usw) gir
$$
\frac{17}{3} \, , \ \frac{577}{102} \, , \ \frac{665857}{117708} \, , \cdots
$$
også videre.

Ingenting å utsette på løsningen, men jeg synes at hvis man først beskriver denne metoden, må man også vise det generelle bildet.

Vi kan finne en tilnærming til en hvilken som helst kvadratrot $ \sqrt{n} $ ved å gjette en initiell verdi $ x_0 $ og deretter iterere

$ x_{i+1} = \frac{1}{2}\left( x_i + \frac{n}{x_i} \right) $

Noen engelsktalende steder ble denne metoden visstnok kalt "divide and average", og før kalkulatorens tid var det vanlig å lære den bort til barn. Det intuitive bildet er klart: siden $ \sqrt{n} $ er tallet $ k $ slik at $ k \cdot k = n $, vil en verdi $ x_{i+1} $ som ligger midt mellom den forrige verdien $ x_{i} $ og $ n/x_{i} $ være en bedre tilnærming enn den forrige. Formelt er det jo, som Nebu nevner, ekvivalent med Newtons metode.

Takk for interessant lesning på oppgaven med også rett svar.

Her er min fremgangsmåte til uendelig mange siffer i brøkene:
For hver ny brøk jeg vil få frem, så ganger jeg telleren med 5,82842712, som er kvadratroten av 2 opphøyd i andre potens pluss 3, da får jeg telleren i den nye brøken. Deretter deler jeg denne telleren på selve kvadratroten av 32, og da får jeg nevneren.