matematikk.net

a) Anta at [tex]x,y>1[/tex]. Vis at

[tex]\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq 2[/tex]

b) Generalisering av første oppgaven. Anta at [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n>1[/tex]. Vis at

[tex]\log_{a_1}{a_2}+\log_{a_2}{a_3}+\cdots + \log_{a_n}{a_1}\geq n[/tex]

Edit: Alle variablene er altså reelle tall!

a) Anta at [tex]x,y>1[/tex]. Vis at

[tex]\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq 2[/tex]

Litt triksing gir at $ \log_{x}{y} = \frac{1}{\log_{y}{x}} $. AM-GM gir at

$ \frac{\log_{x}{y} + \frac{1}{\log_{x}{y}}}{2} \geq 1 $

Setter så inn for $ \frac{1}{\log_{x}{y}} $ som gir den ønskede ulikheten.

b) Generalisering av første oppgaven. Anta at [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n>1[/tex]. Vis at

[tex]\log_{a_1}{a_2}+\log_{a_2}{a_3}+\cdots + \log_{a_n}{a_1}\geq n[/tex]

Vi har identiteten $ \log_{a_1}{a_2} = \frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} $. AM-GM gir at

$ \frac{\log_{a_1}{a_2} + \log_{a_2}{a_3} + \cdots + \log_{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{\log_{a_1}{a_2} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} $

Bruker identiteten over repetert

$ \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} = \cdots = \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_1}}{\log_{a_n}{a_1}}\log_{a_n}{a_1}} = 1 $

Og ulikheten følger.

Fint! Du burde kanskje nevne at [tex]x,y>1[/tex] sikrer at [tex]\log_{x}{y}[/tex] er positiv, som er en forutsetning for at AM-GM kan benyttes.

Brahmagupta wrote:Fint! Du burde kanskje nevne at [tex]x,y>1[/tex] sikrer at [tex]\log_{x}{y}[/tex] er positiv, som er en forutsetning for at AM-GM kan benyttes.

Det burde jeg nok ha nevnt, ja. Bra oppgave, forresten, og en interessant ulikhet.