matematikk.net

Driver med følgende oppgave til en øving i TMA4240 Statistikk på NTNU:



Sitter temmelig fast på den. Jeg har gjort som følger:


[tex]Var(\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i})= E[(\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i} - E[\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i}])^{2}] = E[(\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i})^{2}] = E[\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i} \times \sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i}] = E[\sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i} \times \sum_{j=1}^{n} a_{j}X_{j}] = E[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}a_{j}X_{i}X_{j}]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}a_{j}E[X_{i}X_{j}][/tex]

Siden [tex]Cov(X_{i},X_{j})=E[X_{i}X_{j}] - E[X_{i}] \times E[X_{j}] = E[X_{i}X_{j}][/tex]

Har vi da at [tex]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}a_{j}E[X_{i}X_{j}]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}a_{j}Cov(X_{i},X_{j})[/tex]
Jeg er dermed i alle fall delvis på vei. Men, videre kommer jeg ikke . Jeg hadde satt pris på litt hjelp videre.

Du har jo allerede fått oppgitt at $Var(\sum a_iX_i)=E((\sum a_iX_i)^2)$.

Du har at $(\sum a_iX_i)^2=\sum a_i^2X_i^2 + 2\sum_{i<j} a_ia_jX_iX_j$

Hvor følger den siste likheten fra plutarco ?

Det er jo bare kvadratet som er skrevet ut.

Kunne du (eller noen andre) utdypet det? Måten du og plutarco behandler det steget som om det er fulstendig trivielt får meg til å anta at det skal være ganske åpenbart, men jeg ser ikke helt hva det er som er blitt gjort for å få det siste uttrykket.

Elgstuing wrote:Kunne du (eller noen andre) utdypet det? Måten du og plutarco behandler det steget som om det er fulstendig trivielt får meg til å anta at det skal være ganske åpenbart, men jeg ser ikke helt hva det er som er blitt gjort for å få det siste uttrykket.

Vel, det er antagelig notasjonen som forvirrer deg. For n=2 kan vi like godt skrive

$(a_1X_1+a_2X_2)^2=a_1^2X_1^2+a_2^2X_2^2+2a_1a_2X_1X_2$, som i den opprinnelige notasjonen er det samme som

$(\sum_{i=1}^2 a_iX_i)^2=\sum_{i=1}^2a_i^2X_i^2+2\sum_{i<j}a_ia_jX_iX_j$, der $\sum_{i<j}$ står for dobbeltsummen over alle indekspar (i,j) der i<j

Åja, selvsagt. Tusen takk!